Integración de elementos de un grupo de Lie con respecto a parámetros del álgebra de Lie correspondiente

Question

Integración de elementos de un grupo de Lie con respecto a parámetros del álgebra de Lie correspondiente

SrMuellerMaestro

estoy trabajando con un operador $\textbf{M}$ que está representado por el grupo de Lie SO (1,3), por lo que se puede escribir como,

METRO = Exp L

$\textbf{M} = \exp{\textbf{L}}$ dónde,

L = [\begin{matrix} 0 & a & b & C \\ a & 0 & d & mi \\ b & - d & 0 & F \\ C & - mi & - F & 0 \end{matrix}] .

$\textbf{L} = \begin{bmatrix} 0&a&b&c\\ a&0&d&e\\ b&-d&0&f\\ c&-e&-f&0 \end{bmatrix}.$ necesito integrar

M

$\textbf{M}$ con respecto a uno o más de los parámetros de

L

$\textbf{L}$ , Por ejemplo,

B = \int_{0}^{T} METRO d a

$\textbf{B}=\int_{0}^{T}\textbf{M}\,da$ es la integral de

M

$\textbf{M}$ con respecto al parámetro diferencial

a

$a$ . Esta integración se puede realizar por componentes como,

B_{i, j} = \int_{0}^{T} {METRO}_{i, j} d a

$B_{i,j}=\int_{0}^{T}M_{i,j}\,da$ Pero la forma analítica de

M

$\textbf{M}$ es muy engorroso para trabajar cuando todos los parámetros de

L

$\textbf{L}$ son distintos de cero. Me está costando mucho obtener soluciones analíticas para los elementos de

B

$\textbf{B}$ en cuanto a los elementos de

L

$\textbf{L}$ . ¿Es posible realizar la integración en el álgebra de Lie antes del mapa exponencial? ¿O hay simplificaciones que surgen del conocimiento de la simetría del grupo? Busqué durante mucho tiempo pero no puedo encontrar una manera de escribir la integración en términos de

L

$\textbf{L}$ directamente.

Martín Uding

Hacerlo por componentes podría simplificar la integración, pero no creo que haya una forma directa de sacar los componentes del mapa exponencial. ¿Son los parámetros de tal manera que cierta potencia de

L

$L$ se vuelve más fácil? Entonces podría valer la pena una expansión de la exponencial (es para

S U (2)

$\mathrm{SU}(2)$ con

σ_{1}

$\sigma_1$ por ejemplo).

Miguel

No entiendo la integral. Son

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ ,

f

$f$ dado como funciones de

a

$a$ ? ¿Son constantes?

a

$a$ ? ¿Y AccFoTr tiene razón al afirmar que se trata de un grupo de Lie de un parámetro? (En particular, ¿es realmente un homomorfismo?)

Miguel

En una nota relacionada, estoy a punto de publicar un documento en arxiv sobre la integración en el grupo.

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ , donde un método que aplico es mapearlo de nuevo a una integración en el álgebra

s o (3)

$\mathfrak{so}(3)$ . También hablo de generalizaciones a otros grupos, pero no estoy seguro (dependiendo de sus respuestas a mis preguntas anteriores) de que ayude si está buscando resultados analíticos.

qmecanico

Haciéndose eco del comentario anterior de @Mike: Si

b

$b$ ,

c

$c$ ,

d

$d$ ,

e

$e$ ,

f

$f$ son constantes independientes de la variable de integración

a

$a$ , entonces la integral de OP es de la forma

\int_{0}^{T} d a \exp [L_{0} + a L_{1}]

$\int_0^T \! da \exp\left[\textbf{L}_0 + a \textbf{L}_1 \right]$ , donde los dos

a

$a$ -matrices constantes independientes

L_{0}

$\textbf{L}_0$ y

L_{1}

$\textbf{L}_1$ no conmutar en general, por lo que no se debe esperar una fórmula simple en general.

AccidentalFourierTransformar

@Mike ¡No tengo idea de lo que estaba pensando! para fijo

b, c, d, e, f

$b,c,d,e,f$ , SO(1,3) no es un grupo de un parámetro wrt

a

$a$ . ¡Mi respuesta fue descaradamente incorrecta! [por ejemplo, tenga en cuenta que los generadores ni siquiera son invertibles, por lo que

ϕ^{' - 1} (0)

$\phi'^{-1}(0)$ no está definido...]

Respuestas (1)

Integración de elementos de un grupo de Lie con respecto a parámetros del álgebra de Lie correspondiente

Hacerlo por componentes podría simplificar la integración, pero no creo que haya una forma directa de sacar los componentes del mapa exponencial. ¿Son los parámetros de tal manera que cierta potencia de $L$ se vuelve más fácil? Entonces podría valer la pena una expansión de la exponencial (es para $\mathrm{SU}(2)$ con $\sigma_1$ por ejemplo).
No entiendo la integral. Son $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ dado como funciones de $a$ ? ¿Son constantes? $a$ ? ¿Y AccFoTr tiene razón al afirmar que se trata de un grupo de Lie de un parámetro? (En particular, ¿es realmente un homomorfismo?)
En una nota relacionada, estoy a punto de publicar un documento en arxiv sobre la integración en el grupo. $\mathrm{SO}(3)$ , donde un método que aplico es mapearlo de nuevo a una integración en el álgebra $\mathfrak{so}(3)$ . También hablo de generalizaciones a otros grupos, pero no estoy seguro (dependiendo de sus respuestas a mis preguntas anteriores) de que ayude si está buscando resultados analíticos.
Haciéndose eco del comentario anterior de @Mike: Si $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f$ son constantes independientes de la variable de integración $a$ , entonces la integral de OP es de la forma $\int_0^T \! da \exp\left[\textbf{L}_0 + a \textbf{L}_1 \right]$ , donde los dos $a$ -matrices constantes independientes $\textbf{L}_0$ y $\textbf{L}_1$ no conmutar en general, por lo que no se debe esperar una fórmula simple en general.
@Mike ¡No tengo idea de lo que estaba pensando! para fijo $b,c,d,e,f$ , SO(1,3) no es un grupo de un parámetro wrt $a$ . ¡Mi respuesta fue descaradamente incorrecta! [por ejemplo, tenga en cuenta que los generadores ni siquiera son invertibles, por lo que $\phi'^{-1}(0)$ no está definido...]

Cosmas Zachos · Answer 1

Disculpas por no producir una respuesta más general para grupos de Lie arbitrarios (que podrías sacar con gran esfuerzo de WP ), sino solo un mapa de ruta para tu problema particular (¡encantado!).

Lo llamo encantado porque debería recordarle al grupo de Lorentz, con a,b,c parametrizando los impulsos Kx,Ky,Kz y d,e,f los tres ángulos de rotación J. Los tratamientos decentes de las representaciones del grupo de Lorentz para empezar le recordarían que puede tomar combinaciones lineales de K s y J s que conmutan entre sí, y entonces su exponencial es realmente el producto directo de dos exponenciales, $\exp({\bf \theta \cdot A}) \otimes \exp ({\bf \phi \cdot B})$ cada uno en una representación compleja de 2x2, con θ y φ horribles ángulos complejos a los que debe asignar sus 6 ángulos. Sin embargo, una vez que haya hecho eso, dado que las matrices de Pauli exponenciadas tienen una resolución estándar lineal en las matrices de Pauli , su integral es manejable y, lo que es más interesante, expresable como el producto directo de exponenciales, de donde, invirtiendo sus pasos, como exponencial de una matriz de 4x4, si se desea.

Puede ser mucho trabajo, pero es sencillo. (Pruebe con todos los parámetros desapareciendo excepto a y f primero: tiene ${\bf M}=\exp(a \sigma_1,~ if\sigma_2)$ en los dos bloques separables de 2x2; luego puede ver que el segundo bloque se factoriza y no se ve afectado por la integración, mientras que el primero no, y la integral de M es, por lo tanto , ${\bf B}=\int {\bf M}=\exp(\frac{T}{2} \sigma_1 +1\!\!1 \log(2 \sinh(T/2)),~ if\sigma_2)$ .) También podría haber un argumento físico hábil, al estilo de la rotación de Wigner , pero podría llevar tanto tiempo.

Integración de elementos de un grupo de Lie con respecto a parámetros del álgebra de Lie correspondiente

SrMuellerMaestro

Martín Uding

Miguel

Miguel

qmecanico

AccidentalFourierTransformar

Respuestas (1)

Cosmas Zachos

¿Existe un teorema general que establezca por qué el mapa exponencial del grupo de Lorentz restringido es sobreyectivo?

Diferencia entre el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré

Generadores de grupos de Lorentz y su dimensionalidad

¿Cómo construir generadores y Lie Algebra para el grupo de Lorentz?

Vínculo entre la descomposición su(2)su(2)\mathfrak{su}(2) y el álgebra de Lorentz Lie

¿Son los espinores representaciones del grupo de Lorentz o su álgebra asociada?

¿Cómo relacionaría Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} con la matriz de refuerzo de Lorentz?

¿Cuál es la interpretación física de los impulsos de Lorentz sin desplazamientos?

¿Cuál es la relación entre SL(2,C)SL(2,C)SL(2,\mathbb{C}), SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\ veces SU(2) y SO(1,3)SO(1,3)SO(1,3)?

Derivación heurística de Wμ=12ϵμνσρPνJσρWμ=12ϵμνσρPνJσρW^\mu=\frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\sigma\rho}P_\nu J_{\sigma\rho} usando una combinación de argumentos físicos y matemáticos