Lagrangiano depende de la segunda derivada del campo

En el caso del Faddeev-Popov Lagrangian de calibre fijo:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}\,^{a}F^{\mu\nu a}+\bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m\right)\psi-\frac{\xi}{2}B^{a}B^{a}+B^{a}\partial^{\mu}A_{\mu}\,^{a}+\bar{c}^{a}\left(-\partial^{\mu}D_{\mu}\,^{ac}\right)c^{c}$$

(por ejemplo, en la ecuación 16.44 de Peskin y Schröder)

Si expande el último término (para los campos fantasma) obtiene:

$$\bar{c}^{a}\left(-\partial^{\mu}D_{\mu}\,^{ac}\right)c^{c} = -\bar{c}^{a}\partial^{2}c^{a}-gf^{abc}\bar{c}^{a}\left(\partial^{\mu}A_{\mu}\,^{b}\right)c^{c}-gf^{abc}\bar{c}^{a}A_{\mu}\,^{b}\partial^{\mu}c^{c}$$

Y así, el Lagrangiano tiene un término proporcional a la segunda derivada de$c^a$.

En este caso, ¿cómo se encuentran las ecuaciones clásicas de movimiento para los diversos campos fantasma y sus adjuntos?

Encontré las siguientes ecuaciones de movimiento hasta ahora:

$$D_{\beta}\,^{dc}F^{\beta\sigma}\,^{c}=-g\bar{\psi}\gamma^{\sigma}t^{d}\psi+\partial^{\sigma}B^{d}+gf^{dac}\left(\partial^{\sigma}\bar{c}^{a}\right)c^{c} = 0$$ $$\sum_{j}\partial_{\sigma}\bar{\psi}_{\alpha,\, j}i\gamma^{\sigma}\,_{ji}-\sum_{\beta}\sum_{j}\bar{\psi}_{\beta,\, j}\left(gA_{\mu}\,^{a}\gamma^{\mu}\,_{ji}t^{a}\,_{\beta\alpha}-m\delta_{ji}\delta_{\beta\alpha}\right)=0$$ $$\left(i\gamma^{\mu}D_{\mu}-m\right)\psi=0$$ $$B^{b}=\frac{1}{\xi}\partial^{\mu}A_{\mu}\,^{b}$$ $$\partial^{\mu}\left(D_{\mu}\,^{dc}c^{c}\right)=0$$ $$f^{abd}\left(\partial_{\sigma}\bar{c}^{a}\right)A^{\sigma}\,^{b}=0$$

Pero es la última ecuación que sospecho que es falsa (vi la ecuación$D_\mu\,^{ad} \partial^\mu \bar{c}^d = 0$en alguna hoja de ejercicios ( http://www.itp.phys.ethz.ch/education/fs14/qftII/Series7-3.pdf Ejercicio 3) y también vi la ecuación$D^\mu\,^{ad}\partial_\mu B^d = igf^{dbc}(\partial^\mu\bar{c}^b)D_\mu\,^{dc} c^c$que no entiendo cómo se derivaron).

EDITAR: gracias a la respuesta de Qmechanic, pude derivar las ecuaciones correctas de los movimientos (como se indica en el comentario de esa respuesta), pero todavía no sé dónde "obtener" la última ecuación que mencioné que conecta el campo auxiliar con el campos fantasmas.