Ecuaciones de movimiento para la teoría de Yang-Mills SU(2)SU(2)SU(2)

La teoría lagrangiana de Yang-Mills acoplada a escalares/fermiones, etc. toma la forma

$${\cal L}_{YM} = - \frac{1}{2} \text{Tr} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + (D_\mu \phi) (D^\mu \phi)^* + i {\bar \psi} \gamma^\mu D_\mu \psi + \cdots$$ donde el $\cdots$representa otros términos de interacción que podrían estar presentes. Permítanme explicar la notación en la expresión anterior.

1. $\phi_i$y$\psi_i$son multipletes en alguna representación$R$del grupo de calibre$G$. Aquí,$i = 1, \cdots, \dim R$

2. Los generadores en representación$R$se denotan como$T^a$. Estos se normalizan para satisfacer

   $$[T^a, T^b] = i f^{ab}{}_c T^c,~~~~ \text{Tr} ( T^a T^b )= \frac{1}{2}\delta^{ab}$$ En otras palabras, el$T_{ij}^a$son solo un conjunto de matrices que satisfacen las propiedades anteriores.

3. Las derivadas covariantes que actúan sobre los campos son

   $$\begin{align} (D_\mu \phi)_i &= \partial_\mu \phi_i - i g T^a_{ij} A_\mu^a \phi_j \\ (D_\mu \psi)_i &= \partial_\mu \psi_i - i g T^a_{ij} A_\mu^a \psi_j \\ \end{align}$$ dónde$(A_\mu)_{ij} = A_\mu^a T_{ij}^a$.

4. $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + g [A_\mu, A_\nu ] \\ $$ Explícitamente $$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A_\mu^a + i g f_{bc}{}^a A^b_\mu A_\nu^c$$

Esto especifica completamente la teoría del Lagrangiano de Yang Mills. Ahora puede usar el principio variacional para determinar las ecuaciones de movimiento.