Feynman descarta el Lagrangiano

De acuerdo con el capítulo 10, sección 10.6 Reglas de Feynman de 'Introducción a las partículas elementales' de David Griffiths, hay una manera de extraer el vértice y los propagadores simplemente inspeccionando el Lagrangiano:

1) Propagadores: tomar las ecuaciones de Euler-Lagrange de los campos libres y la inversa de los operadores en el espacio de momento que actúan sobre los campos y multiplicar por$i$son los propagadores de cada uno.

2) Vértice: toma la interacción Lagrangiana y multiplícala por$i$. Hacer uso de la receta$i\partial_\mu \rightarrow k_\mu$y borra los campos. El resto es el vértice.

Mis preguntas son:

a) Si quiero calcular el vértice para la interacción Lagrangiana${\cal L}_{int} = g\varphi\partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$(todos los campos escalares), por la regla 2) obtengo${\rm vertex} = -igk_1k_2$. Sin embargo, aparentemente la solución es$-2ig(k_1k_2 + k_1k_3 + k_2k_3)$. ¿De dónde salieron estos factores adicionales?

b) Si tuviera una interacción similar a la de a) pero cambiando un campo por uno nuevo$\chi$(escalar también), entonces${\cal L}_{int} = g\chi \partial_\mu \varphi \partial^\mu\varphi$, sería la solución$-2igk_1k_2$con$k_i$los momentos de$\varphi$¿campos?

c) Este libro te garantiza que para QCD, con${\cal L}_{int}^{3\ fields} = g\{[\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu]·(A_\mu \times A_\nu) + (A^\mu \times A^\nu)·[\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu]\}$, se puede obtener el vértice de 3 campos conocido como${\rm vertex} = -gf^{\alpha \beta \gamma}[g_{\mu \nu}(k_1 - k_2)_\lambda + g_{\nu \lambda}(k_2 - k_3)_\mu + g_{\lambda \mu}(k_3 - k_1)_\nu]$. Intenté obtenerlo de la regla 2) pero no pude.