Lagrangiana para ecuaciones de Euler en relatividad general

El tensor de energía de tensión para el polvo relativista

T m v = ρ v m v v
se sigue de la acción
S METRO = − ∫ ρ C v m v m − gramo d 4 X = − ∫ C pags m pags m d 4 X
dónde pags m = ρ v m − gramo es la densidad de 4 momentos . Uno usa la fórmula:
T m v = − 2 − gramo d S METRO d gramo m v ( 1 )
Y la derivación se da, por ejemplo, en esta pregunta que hice antes (o en el libro de Dirac citado allí): Preguntas de derivación de Lagrangian for Relativistic Dust

Pregunta 1: ¿hay algún Lagrangiano (o acción) que dé el siguiente tensor de energía de tensión para un fluido perfecto?

T m v = ( ρ + pags C 2 ) v m v v + pags gramo m v
?

Pregunta 2: ¿Qué pasa con las ecuaciones de Navier Stokes?

Pregunta 3: Si la respuesta a cualquiera de las preguntas anteriores es negativa, ¿se puede seguir utilizando la ecuación (1) como definición del tensor de energía de tensión? ¿O debería uno usar una definición de que el tensor de energía de estrés es lo que aparece en el lado derecho de las ecuaciones de Einstein (incluso si no se puede derivar de una acción)?

Respuestas (1)

  1. Estimado Ondřeji, una buena pregunta, pero parte de la respuesta es que su ecuación para el fluido está indeterminada. trata pags , ρ como variables independientes. Pero el sistema físico sólo sabe comportarse si además se sustituye por alguna ecuación de estado, es decir, una función pags = pags ( ρ ) o pags = pags ( ρ , v → ) . Tenga en cuenta que su Ansatz para el tensor de tensión-energía depende de 6 parámetros, 4 de ellos en v m y pags y ρ , que es la mayoría de los 10 parámetros generales en un tensor genérico de tensión-energía. Entonces, lo que escribiste es solo un subconjunto ligeramente especial, pero no demasiado especial, de tensores de tensión-energía. Sin embargo, cuando escribes una acción para algunas variables, el principio de acción mínima siempre te dice inmediatamente cómo evolucionan todos los grados de libertad y no has especificado las ecuaciones, por lo que no puedes escribir una acción. Para el polvo, este problema no surge realmente porque el polvo se mueve a lo largo de las geodésicas, que es lo que probablemente se deduce de d S = 0 , también.

  2. No existe un lagrangiano para las ecuaciones de Navier-Stokes porque incluyen la viscosidad, es decir, la disipación de energía, y para tales sistemas irreversibles con términos similares a la fricción, no se puede escribir una descripción fundamental basada en la acción. Sin embargo, uno puede encontrar una descripción generalizada de este tipo, "descripción de acción mínima estocástica", que tiene alguna integración adicional sobre variables aleatorias, consulte, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/0810.0817

  3. Sus dos "definiciones" del tensor de tensión-energía son completamente equivalentes. Si derivas las ecuaciones de Einstein del principio de acción mínima, y ​​la dependencia de las derivadas del tensor métrico es solo un múltiplo de R , entonces el lado derecho de las ecuaciones de Einstein contiene exactamente la variación de S con respecto al tensor métrico. No se puede decir que uno de ellos es mejor que el otro: son lo mismo siempre que existe una acción. Cuando una acción no existe, bueno, aún puede definir el tensor de tensión-energía como el lado derecho de las ecuaciones de Einstein, pero la ausencia de la "fórmula de variación" para el tensor se debe principalmente a la ignorancia porque existe un subyacente Lagrangiano para cualquier teoría interesante (materia acoplada a la gravedad) en d = 4 . Permítanme mencionar también que hay una definición diferente de un tensor de tensión-energía, uno obtenido como la corriente de Noether (covariante) de las simetrías traslacionales del espacio-tiempo en el límite de la gravedad que se desvanece, es decir, una definición relacionada con la ley de conservación y las simetrías. Por lo general, son lo mismo que la variación que escribió siempre que la variación esté bien definida.

Nota: el tensor de energía de estrés canónico de Noether para el campo electromagnético no es simétrico y es necesario agregar un término derivado total ∂ α k α m v con k α m v = F m α A v (por lo que el nuevo tensor aún se conserva), entonces se obtiene exactamente el mismo tensor que el de la ecuación (1). Pero este truco me parece bastante arbitrario, por lo que personalmente me gusta más la fórmula (1), que es el lado derecho de la ecuación de Einstein (asumiendo la acción de Hilbert, como escribiste), siempre que sepamos la acción para el asunto
Pregunta: si sumamos la ecuación de estado de los gases ideales, ¿existe una acción? Sólo puedo formular las ecuaciones no relativistas: pags = ρ R T , dónde mi = T C v , dónde mi = ρ mi + 1 2 ρ v 2 . aquí mi es la energía interna, mi es la energía total (sin contar la energía de la masa en reposo), T es la temperatura, R la constante de los gases y C v es la capacidad calorífica específica a volumen constante.
Estimado Ondřej, con la ecuación de los gases ideales, agregó una nueva variable y una nueva condición, por lo que no cambió nada. Puede verlo como una definición de T y no cambia que haya cosas indeterminadas. si hiciste T aumenta con la fricción local, etc., entonces enfrenta los mismos problemas de irreversibilidad que aquellos con viscosidad, y no habrá ninguna acción "ordinaria". Su preferencia por el tensor definido por variación es legítima, aunque es una elección subjetiva. Las corrientes de Noether aún pueden ser las cosas primarias en varios contextos y la simetría del tensor secundario.
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