La acción de Einstein-Hilbert en el caparazón

Eso es verdad. Pero mi pregunta es más general. Supongamos que se considera la acción de Einstein-Hilbert-Maxwell. Luego habrá dos ecuaciones de movimiento, una para el campo métrico y otra para el campo calibre. Entonces, ¿cuál sería la forma de acción en el caparazón?

Luego, las ecuaciones de movimiento se acoplarán: debido al término de Maxwell, ya no es una solución de vacío. En este caso, los EE se convierten en $R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}$y las ecuaciones de Maxwell se convierten en $D_{\mu}F^{\mu\nu}=0$. Si, por ejemplo, consideramos solo campos eléctricos en cuatro dimensiones, la solución viene dada por la métrica de Reissner Nordstrom junto con $A_0=-Q/r+\Phi$, dónde $Q$es la carga del agujero negro y $\Phi$es constante Resulta que el tensor EM no tiene trazas en este caso específico, por lo que $R=0$de nuevo.

De hecho, se cumple un resultado más general: el tensor EM para los campos de Maxwell es $T_{\mu\nu}=F_{\mu\rho}F_{\nu}^{\rho}-\frac{1}{4}F_{\rho\sigma}F^{\rho\sigma}$, tan claramente $T_{\mu}^{\mu}=0$en cuatro dimensiones. Por eso $R=0$para la acción de Einstein-Hilbert-Maxwell (¡pero solo en 4 dimensiones!), por lo que solo te queda la parte de Maxwell en el caparazón.