Densidad lagrangiana de partículas puntuales de espacio-tiempo curvo

No encontré una expresión tan elegante como tu ansatz, pero déjame intentarlo. Un lagrangiano clásico$L\left( t,q^{i},v^{i}\right)$para una partícula es una función de siete variables: el tiempo$t$, coordenadas de partículas$q^{i}$y velocidad$v^{i}$(Utilizo etiquetas latinas para índices tridimensionales, mientras que los componentes indexados en griego son para 4 métricas). Como vamos a hablar solo de partículas masivas, el tiempo se puede usar para parametrizar la trayectoria de las partículas, por lo tanto, usar la acción

$$\begin{equation}\tag{1} \begin{split} S&=-m\int d\tau\\ &=-m\int\sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}\\ &=\int dt\,L, \end{split} \end{equation}$$ encontramos el Lagrangiano clásico: $$\begin{equation} \begin{split} L\left( t,q^{i},v^{i}\right) &=-m\frac{d\tau}{dt}\\ &=-m\sqrt{g_{00}\left( t,q\right) +2g_{i0}\left( t,q\right) v^{i}+g_{ij}\left( t,q\right) v^{i}v^{j}}, \end{split} \end{equation}$$ donde mostré explícitamente los argumentos del tensor métrico. Es fácil de representar $L$como una integral formal de 3 veces: $$\begin{equation} L\left( t,q^{i},v^{i}\right) =-m\int d^{3}x\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat{x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i} v^{j}}, \end{equation}$$ dónde $g\left( \hat{x}\right) =g\left( t,x\right)$. Por lo tanto la acción (1) toma la forma: $$\begin{align} S & =-m\int d^{4}x\,\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat{x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i}v^{j}}\\ & =-m\int d^{4}x\sqrt{-g\left( \hat{x}\right) }\,\left\{ \frac{\delta^{( 3)}\left( q^{i} -x^{i}\right)}{\left[ -g\left( \hat{x}\right) \right] ^{1/2}} \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat {x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i}v^{j}}\right\} ,\nonumber \end{align}$$ dónde $g=\det g_{\mu\nu}$. La cantidad extraña en los corchetes de arriba se puede llamar densidad lagrangiana.

Permítanme representar esta densidad de una manera más agradable. Primero, me gustaría usar notaciones similares a ADM (ADM significa Arnowitt, Deser y Misner):

$$\begin{equation} \gamma_{ij}=-g_{ij}+\frac{g_{i0}g_{j0}}{g_{00}},\qquad g_{i}=-\frac{g_{i0} }{g_{00}},\qquad h^{2}=g_{00}, \end{equation}$$ por tanto, la densidad lagrangiana tiene la forma: $$\begin{equation}\tag{2} \mathcal{L}\left( \hat{x},q^{i},v^{i}\right) =\left( \frac{h^{2}} {-g}\right) ^{1/2}\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \left[ \left( 1-g_{i}v^{i}\right) ^{2}-h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}\right] ^{1/2}. \end{equation}$$

Permítanme comenzar la explicación con la matriz.$\hat{\gamma}$. Supongamos que hay dos puntos$A$y$B$separado por$dx$. Si envías una señal luminosa desde el punto$A$apuntar$B$y viceversa, entonces puedes definir la distancia espacial$dl$entre los dos puntos como$cT/2$, dónde$c$es la velocidad de la luz y$T$es el intervalo de tiempo entre el envío y la recepción de la señal. Es fácil mostrar que el elemento de distancia espacial así definido es$dl^{2}=\gamma_{ij} dx^{i}dx^{j}$. Por lo tanto el 3-tensor$\gamma_{ij}$da cuenta de la geometría espacial. Puede considerarlo como una especie de 3-métrica inducida. De hecho,$\gamma_{ij}$es simplemente la matriz inversa de la \ parte tridimensional de la métrica contravariante:

$$\begin{equation} -g^{in}\gamma_{nj}=\delta_{j}^{i}, \end{equation}$$ También es fácil de mostrar: $$\begin{equation} -g^{in}\gamma_{nj}=\delta_{j}^{i},\qquad-g=g_{00}\gamma,\qquad\Rightarrow \qquad\left( \frac{g_{00}}{-g}\right) ^{1/2}=\gamma^{-1/2}=\sqrt{-\det g^{mn}}. \end{equation}$$ Por lo tanto, en la cantidad $h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}=\gamma_{ij} dq^{i}dq^{j}/(h\,dt)^{2}=\left( \Delta q\right) ^{2}/(h\,dt)^{2}$en la densidad lagrangiana (2), $\Delta q$es el elemento real de la distancia espacial a lo largo de la trayectoria de la partícula.

La cantidad$\Delta t=h\,dt=\sqrt {g_{00}}dt$define el tiempo propio para el punto dado en el espacio, es decir

$$\begin{equation} \left. d\tau\right\vert_{dx^{i}=0}=g_{00}\,dt, \end{equation}$$ por eso $\sqrt{g_{00}}dt$es el intervalo de tiempo real en el marco de referencia comóvil de la partícula.

se parece a eso$\left( \Delta q\right) ^{2}/(h\,dt)^{2}$es la velocidad real de la partícula que puede ser medida por un observador externo, pero no es completamente cierta. También existe la llamada corrección de sincronización. Está estrechamente relacionado con el procedimiento de sincronización de relojes ubicados en diferentes puntos del espacio. Se puede demostrar (ver, por ejemplo, Landau, Lifshitz, vol. II, «La teoría clásica de los campos») que si los relojes están sincronizados por la señal de luz que pasa (como se consideró anteriormente) el intervalo de tiempo$dt$en el punto$A$debe ser corregido por$\Delta t=-g_{i}dx^{i}$en el punto$B$. Por ejemplo, si elige el contorno cerrado en el espacio con$g_{i}\neq0$e intente sincronizar todos los relojes a lo largo del contorno, encontrará que la diferencia horaria, que se registraría al regresar al punto de partida es:

$$\begin{equation} \Delta t=-\oint g_{i}dx^{i}. \end{equation}$$

Teniendo en cuenta todo lo anterior, podemos definir la cantidad

$$\begin{equation} V^{i}=\frac{dq^{i}}{(1-g_{i}v^{i})\sqrt{h}dt}=\frac{dq^{i}}{\sqrt{h}\left( dt-g_{i}dq^{i}\right) }, \end{equation}$$ que debe calcularse a lo largo de la trayectoria de la partícula. Por lo tanto $$\begin{equation} \frac{h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}}{\left( 1-g_{i}v^{i}\right) ^{2}} =\gamma_{ij}V^{i}V^{j}=V^{2} \end{equation}$$ es el cuadrado de la velocidad real de la partícula medida por reglas debidamente calibradas y el tiempo adecuado determinado por relojes sincronizados a lo largo de la trayectoria de la partícula. Finalmente, la densidad lagrangiana toma la forma: $$\begin{equation} \mathcal{L}\left( \hat{x},q^{i},v^{i}\right) =-m\,\sqrt{1-V^{2}}\left[ \gamma^{-1/2}\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \left( 1-g_{i}v^{i}\right) \right] , \end{equation}$$ dónde $\gamma^{-1/2}\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \times\left( 1-g_{i}v^{i}\right)$es una función Delta tridimensional correctamente definida proporcionada por la corrección de sincronización temporal.

La concepción de la velocidad.$V^{i}$es muy útil. Por ejemplo, supongamos que hay una métrica estacionaria$g_{\mu\nu}\left( x^{i}\right)$(«estacionario» significa$g_{\mu\nu}$no depende del tiempo), entonces la energía de la partícula, que se conserva a lo largo de la trayectoria, es la siguiente:

$$\begin{equation} E=\frac{m\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-V^{2}}}. \end{equation}$$

tu Lagrangiano es casi correcto. Pero también necesita usar un término de masa que se conserve, que no será el caso del término de masa con su Lagrangiano.

Si utiliza:

$$\mathcal{L}_m = \sum_p m_p \gamma_p^{-1}(-g)^{-1/2}\delta^{(3)}(x^j-x^j_p(\tau_p)),$$ dónde $\gamma_p=dx^0/cd\tau_p$el factor de Lorentz, $u^\mu_p=dx^\mu_p/cd\tau$la 4-velocidad de la partícula (tal que $u^\mu u_\mu=-1$) y $x^j_p(\tau_p)$la trayectoria de la p-ésima partícula, entonces tienes todo lo que necesitas. De hecho, puede calcular directamente que se reduce a $$S=-\sum_p m_p \int d \tau_p,$$ dónde $m_p$se conserva

Tenga en cuenta que esto está íntimamente relacionado con la llamada densidad conservada$\rho^*$que se utiliza a menudo en aplicaciones prácticas de la relatividad general (por ejemplo, en la mecánica celular).$\rho^*=\sqrt{-g} \gamma_p \rho$, dónde$\rho$es la densidad que aparece en el tensor tensión-energía. Entonces, se tiene la conservación "newtoniana" de la llamada densidad conservada (es decir,$\partial_0 \rho^*+\partial_i(\rho^* v^i)=0$, con$v^i = u^i/\gamma_p$). (Se puede derivar de la ecuación de conservación$\nabla_\sigma(\rho u^\sigma)=0$).