¿Cómo encontrar el tensor Estrés-Energía?

Para responder a su primera pregunta: las partículas y los campos están separados. Las partículas son las excitaciones irreductibles de los campos. Solo puede obtener partículas después de cuantificar los campos.

Sin embargo, es posible que a menudo vea personas que usan partículas sin cuantificación de campos (en mecánica clásica y GTR). Debe comprender que estos son modelos aproximados obtenidos asumiendo que la densidad de energía de los campos se concentra en puntos como partículas.

En el corazón de la física no cuantificada, tenemos campos materiales continuos para fotones, electrones, quarks, etc. Estos campos son (generalmente campos tensoriales) de la forma

$${{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}(x,y,z,t)$$ $(i)$denota el tipo de campo (como fotón, bosón de Higgs, etc.) Estos incluyen escalares, vectores, co-vectores, espinores, etc. La densidad lagrangiana $L$suele ser función de los componentes de estos diversos campos y del tensor métrico. Uno necesita confiar en la observación y otras consideraciones (como las simetrías de calibre) para construir un lagrangiano covariante (valor siempre fijo en un evento). Entonces, la 'configuración' de la que hablas depende de todos estos factores.

Su segunda pregunta es en realidad mucho más interesante. Hay 2 tensores SE de uso común. Se diferencian por la divergencia de un tensor antisimétrico. Este documento: http://authors.library.caltech.edu/19366/1/GoMa1992.pdf analiza esto en detalle.

El primero es el tensor canónico SE derivado como una corriente conservada usando el teorema de Noether de la invariancia traslacional del espacio-tiempo del Lagrangiano.

El segundo tipo de tensor se deriva de consideraciones de invariancia difeomorfa de la acción. Se llama Belinfante - Rosenfeld SE tensor. Un difeomorfismo es una noción muy sofisticada y generalizada de traducción. Dejar campo vectorial$X$ser un generador de difeomorfismo general${\phi}^*$y el volumen de integración es$F$.$X$desaparece afuera$F$. Entonces tenemos

$${\int}_{F}L{\eta}-{\phi}^*(L{\eta}) = 0$$ De este modo $${\int}_{F}D_{X}(L{\eta})=0$$ dónde ${\eta}$es la forma de volumen (¡he suprimido el factor de 1/4!)

Expandiendo la RHS, obtenemos:

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}[(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}}}-(\frac{{\partial}L}{{\partial}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g;c}}})_{;c})D_{X}{{{\psi}_{(i)}}^{s...u}_{e....g}} + \frac{1}{2}T^{ab}D_{X}g_{ab}]{\eta}=0$$

Como puede ver, el primer término es la ecuación de Euler, que es igual a cero para cada componente del campo, por lo que cada término de la primera parte de la integral desaparece.

Ahora, un resultado básico que se puede inferir directamente de la definición de un difeomorfismo es

$$D_{X}g_{ab}= X_{a;b} + X_{b;a}$$

Sustituyendo esto en la fórmula anterior

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}((T^{ab}X_a)_{;b}-(T^{ab}_{;b})X_a){\eta}=0$$

El primer término se puede transformar en una integral de superficie en el límite de$F$y se desvanece como$X$se desvanece en el límite de$F$. Esto nos deja con

$${\int}_{F}D_{X}(L{\eta}) = {\int}_{F}-(T^{ab}_{;b})X_a{\eta}=0$$

Ahora lo anterior siempre debe ser cierto para cualquier arbitraria$X$, esto solo es posible si$(T^{ab}_{;b})=0$.

Este tensor siempre es simétrico y de calibre invariable, por lo que es mucho más útil en GTR que el tensor canónico. Consulte el documento vinculado anteriormente para conocer más detalles sobre las diferencias sutiles entre los dos.

Referencias: Capítulo 3, 'Estructura a gran escala del espacio-tiempo' por Hawking y Ellis