Lagrangiano para preguntas de derivación de polvo relativista

Question

Lagrangiano para preguntas de derivación de polvo relativista

Física
tensor-métrico
relatividad general
formalismo lagrangiano
principio variacional
tensión-energía-momentum-tensor

Ondřej Čertík

En la mayoría de los libros de texto GR, se deriva el tensor de energía de tensión para el polvo relativista:

T_{m v} = ρ v_{m} v_{v}

$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$ Y luego uno pone esto en el lado derecho de las ecuaciones de Einstein. Me gustaría derivar esto de alguna acción. He leído todos los libros de texto GR estándar, y el único que habla de esto es la Teoría general de la relatividad de P. Dirac. Si no tienes el libro, déjame reproducir rápidamente la derivación aquí. La acción para el polvo relativista es:

S_{METRO} = - \int ρ C \sqrt{v_{m} v^{m}} \sqrt{| det gramo |} d^{4} X = - \int C \sqrt{{pag}_{m} {pag}^{m}} d^{4} X

$S_M = -\int \rho c \sqrt{v_\mu v^\mu} \sqrt{ |\det g| } d^4 x = -\int c \sqrt{p_\mu p^\mu} d^4 x$ donde

p^{μ} = ρ v^{μ} \sqrt{| det g |}

$p^\mu=\rho v^\mu \sqrt{ |\det g| }$ es la densidad de 4 momentos . Ahora variamos con respecto a

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ como sigue:

d S_{METRO} = - d \int C \sqrt{{pag}_{m} {pag}^{m}} d^{4} X =

$\delta S_M = - \delta \int c \sqrt{{p}_\mu {p}^\mu} d^4 x =$

= - \int C \frac{d ({gramo}^{m v} {pag}_{m} {pag}_{v})}{2 \sqrt{{pag}_{α} {pag}^{α}}} d^{4} X =

$= - \int c {\delta(g^{\mu\nu} {p}_\mu {p}_\nu) \over 2\sqrt{{p}_\alpha {p}^\alpha}} d^4 x =$

= - \int C \frac{{pag}_{m} {pag}_{v}}{2 \sqrt{{pag}_{α} {pag}^{α}}} d ({gramo}^{m v}) d^{4} X =

$= - \int c { {p}_\mu {p}_\nu \over 2\sqrt{{p}_\alpha {p}^\alpha}} \delta(g^{\mu\nu}) d^4 x =$

= - \int C \frac{ρ v_{m} ρ v_{v} {\sqrt{| det gramo |}}^{2}}{2 ρ C \sqrt{| det gramo |}} d ({gramo}^{m v}) d^{4} X =

$= - \int c { \rho v_\mu \rho v_\nu \sqrt{ |\det g| }^2 \over 2 \rho c \sqrt{ |\det g| } } \delta(g^{\mu\nu}) d^4 x =$

= - \int \frac{1}{2} ρ v_{m} v_{v} d ({gramo}^{m v}) \sqrt{| det gramo |} d^{4} X

$= - \int {1\over2} \rho v_\mu v_\nu \delta(g^{\mu\nu}) \sqrt{ |\det g| } d^4 x$ A partir de lo cual calculamos el tensor de energía de tensión utilizando la fórmula GR estándar para ello:

T_{m v} = - \frac{2}{\sqrt{| det gramo |}} \frac{d S_{METRO}}{d {gramo}^{m v}} =

$T_{\mu\nu} = - {2\over\sqrt{ |\det g| }}{\delta S_M\over\delta g^{\mu\nu}} =$

= - \frac{2}{\sqrt{| det gramo |}} (- \frac{1}{2} ρ v_{m} v_{v} \sqrt{| det gramo |}) =

$= - {2\over\sqrt{ |\det g| }} \left( -{1\over2} \rho v_\mu v_\nu \sqrt{ |\det g| } \right)=$

= ρ v_{m} v_{v}

$= \rho v_\mu v_\nu$

Si variamos con respecto a $x^\mu$ , obtenemos la ecuación geodésica (el cálculo es largo, ver por ejemplo aquí , o el libro de Dirac). Estaré encantado de aclarar cualquiera de las derivaciones anteriores si es necesario. Ahora mis preguntas:

1) ¿Por qué no está esto en todos los libros de texto de GR? ¿Hay algún problema con la derivación?

2) De esta acción se sigue la ecuación geodésica $S_M$ . La forma estándar de derivar la ecuación geodésica es maximizar el tiempo adecuado

τ = \int d τ = \int \sqrt{- \frac{1}{C^{2}} d s^{2}} = \int \sqrt{- \frac{1}{C^{2}} {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v}} .

$\tau = \int d \tau = \int \sqrt{-{1\over c^2} d s^2} = \int \sqrt{-{1\over c^2} g_{\mu\nu} d x^\mu d x^\nu} .$ ¿Hay alguna relación entre este

τ

$\tau$ y

S_{M}

$S_M$ ya que ambos nos dan la misma ecuación geodésica?

3) ¿Es correcto decir simplemente que todos los GR para el polvo relativista (sin electromagnetismo) se derivan de esta acción?

S = \frac{C^{4}}{dieciséis π GRAMO} \int R \sqrt{| det {gramo}_{m v} |} d^{4} X - \int C \sqrt{{pag}_{m} {pag}^{m}} d^{4} X

$S = {c^4\over 16\pi G} \int R \sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| } d^4 x -\int c \sqrt{p_\mu p^\mu} d^4 x$ cuando varía con respecto a

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ da las ecuaciones de Einstein con el

T_{μ ν} = ρ v_{μ} v_{ν}

$T_{\mu\nu} = \rho v_\mu v_\nu$ tensor en el lado derecho, cuando varía con respecto a

x^{μ}

$x^\mu$ nos da la ecuación geodésica (para cada partícula del polvo).

4) ¿Por qué necesitamos ocultar el $\sqrt{ |\det g_{\mu\nu}| }$ en la densidad de 4 momentos y no la varían? Dirac dice que es porque $\rho$ y $v^\mu$ no son cantidades independientes cuando varían, pero no entiendo el argumento.

5) La forma estándar es usar la acción de Hilbert, la acción para el campo elmag, el tensor de energía de tensión para el polvo y derivar la ecuación geodésica como una conservación del tensor de energía de tensión, que se deriva de la conservación del tensor de Einstein. ¿Cómo se relaciona este enfoque con el anterior? ¿No es físicamente mejor postular simplemente la acción total y derivar todo de ella?

Nota: Dirac muestra cómo incorporar electromagnetismo simplemente usando la acción estándar para ello y el procedimiento anterior proporciona el elmag correcto. tensor en el lado derecho de las ecuaciones de Einstein y la fuerza de Lorentz en el lado derecho de la ecuación geodésica, así como las ecuaciones de Maxwell para el campo elmag.

Jon

Sigo en desacuerdo con tu tratamiento del tensor de energía de estrés. Debes escribir de una manera directa.

T_{m v} := \frac{- 2}{\sqrt{- gramo}} \frac{d (\sqrt{- gramo} L_{METRO})}{d {gramo}^{m v}} = - 2 \frac{d L_{METRO}}{d {gramo}^{m v}} + {gramo}_{m v} L_{METRO}

$T_{\mu\nu}:= \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}$ y uno debe mantener el término

\sqrt{- g}

$\sqrt{-g}$ .

Ondřej Čertík

Tu definición es exactamente igual a la mía porque

S_{M} = \int \sqrt{- g} L_{M} d^{4} x

$S_M = \int \sqrt{-g}\mathcal{L}_M d^4 x$ . Como tal, debemos obtener exactamente los mismos resultados para el tensor de energía de tensión. ¿Con qué resultado (o cálculo) no está de acuerdo?

Ondřej Čertík

(Edité la publicación principal para dejar claro que

S_{M}

$S_M$ es la acción, no lagrangiana.)

Ron Maimón

@Ondrej: su pregunta está bien, pero generalmente desea hacer preguntas separadas por separado. En este caso, solo la pregunta 4 tiene un sabor algo diferente al de las otras preguntas y podría haber sido su propia pregunta.

Respuestas (1)

Lagrangiano para preguntas de derivación de polvo relativista

Sigo en desacuerdo con tu tratamiento del tensor de energía de estrés. Debes escribir de una manera directa. $T_{m v} := \frac{- 2}{\sqrt{- gramo}} \frac{d (\sqrt{- gramo} L_{METRO})}{d {gramo}^{m v}} = - 2 \frac{d L_{METRO}}{d {gramo}^{m v}} + {gramo}_{m v} L_{METRO}$ $T_{\mu\nu}:= \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} = -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}$ y uno debe mantener el término $\sqrt{-g}$ .
Tu definición es exactamente igual a la mía porque $S_M = \int \sqrt{-g}\mathcal{L}_M d^4 x$ . Como tal, debemos obtener exactamente los mismos resultados para el tensor de energía de tensión. ¿Con qué resultado (o cálculo) no está de acuerdo?
(Edité la publicación principal para dejar claro que $S_M$ es la acción, no lagrangiana.)
@Ondrej: su pregunta está bien, pero generalmente desea hacer preguntas separadas por separado. En este caso, solo la pregunta 4 tiene un sabor algo diferente al de las otras preguntas y podría haber sido su propia pregunta.

Ron Maimón · Answer 1

La energía de tensión del polvo es una suma de energías de tensión de partículas independientes. Cada partícula va junto con una velocidad de 4 $v^\mu$ , y esto significa que está llevando un impulso $mv^\mu$ en la dirección $v^\mu$ , o un tensor de tensión implusivo (flujo de cantidad de movimiento) de $T^{\mu\nu}=mv^\mu v^\nu$ en la ubicación de la partícula (esto debe multiplicarse por una función delta en la ubicación de la partícula). Sumar esta contribución del tensor de tensión sobre una distribución de masa continua de partículas reproduce el tensor de tensión de un polvo, y puede calcularlo simplemente pensando en cuánto impulso llevan las partículas del polvo a través de una superficie infinitesimal en cada unidad de tiempo. Así que esto es algo muy simple físicamente.

Pregunta 1: ¿por qué esto no está en libros que no sean de Dirac?

Generalmente la gente hace una derivación similar a esta en todos los libros de GR, pero lo hacen partícula por partícula, en lugar de sumar todas las partículas en el polvo. La acción de la partícula es la longitud de la línea del mundo, establecer la variación en cero da la ecuación de movimiento (el cálculo es completamente paralelo al de Dirac, ya que cada partícula en el polvo tiene una acción que es independientemente igual a la longitud de la línea del mundo), y mirando en la derivada métrica da el término fuente del tensor de tensión para las ecuaciones de Einstein. Así que es realmente lo mismo que una sola partícula.

La razón probable por la que Dirac no se siente cómodo con el uso de una sola acción de partículas es porque GR no es compatible con fuentes puntuales. Una fuente puntual de gravedad es inconsistente, está dentro de su propio horizonte de Schwartschild. Un punto de vista moderno es ver la fuente puntual como un agujero negro infinitesimal, pero luego debe establecer que la acción de un agujero negro se puede tomar como la longitud de su línea de mundo aproximada, que es un cálculo de ecuación de vacío complicado. El problema se elude si tiene un fluido de energía de estrés manchado como en un polvo, por lo que Dirac probablemente se sintió más cómodo derivándolo de esta manera, aunque presenta algunas complicaciones adicionales menores.

Pregunta 2: Relación entre la acción del polvo y la acción de la longitud del arco

La acción de longitud de arco para una partícula puntual es

S (X) = \int d τ | \dot{X} (τ) | = \int d^{4} X \int d τ d^{4} (X - X (τ)) \sqrt{{\dot{X}}^{m} (τ) {\dot{X}}^{v} (τ) {gramo}_{m v} (X (τ))}

$S(X) = \int d\tau |\dot{X}(\tau)| = \int d^4x \int d\tau \;\;\delta^4(x-X(\tau)) \sqrt{\dot{X}^\mu(\tau)\dot{X}^\nu(\tau)g_{\mu\nu}(X(\tau))}$

Donde la segunda expresión es solo una integración formal sobre el espacio que colapsa en la trayectoria de la partícula, para describir dónde se ubica esta acción.

Etiquete cada partícula del polvo por su posición inicial $\sigma$ , que varía a lo largo de alguna superficie de datos inicial. Para cada $\sigma$ , considere las líneas integrales del campo vectorial $V^\mu$ , y llama a esto $x^\mu(\sigma,\tau)$ , las trayectorias del polvo. Puedes escribir la acción del polvo como la suma de las acciones de las partículas individuales

S = \int d^{4} X \int d^{3} σ ρ (σ) S (X^{m} (a, τ)

$S = \int d^4x \int d^3\sigma \rho(\sigma) S(x^\mu(a,\tau)$

Donde S(a) es la acción de longitud de arco para cada partícula.

tenga en cuenta que la densidad física del espacio-tiempo $\rho(x)$ está relacionado con la densidad inicial de la hipersuperficie $\rho(\sigma)$ por

ρ (X) = \int d σ d τ ρ (σ) d^{4} (X - X (σ, τ))

$\rho(x) = \int d\sigma d\tau \rho(\sigma) \delta^4(x-X(\sigma,\tau))$

Si te deshaces de la $(\tau,\sigma)$ integrales en la acción usando las funciones delta, recuperas la acción de Dirac. Cuando varías las trayectorias de polvo individuales, obtienes la ecuación geodésica. cuando varías $g_{\mu\nu}$ obtienes las tensiones de partículas individuales que contribuyen a la energía de tensión total. Este tipo de cosas aparecen en todos los libros GR modernos.

El número de partículas $\rho(a)$ no debe variarse en la formulación lagrangiana --- el número total de partículas en el polvo debe conservarse. Entonces puedes variar las trayectorias, pero no el número de partículas.

Pregunta 3: ¿La acción de Dirac es completa para polvo/gravedad?

Proporciona la ecuación de movimiento del polvo y las ecuaciones de Einstein obtenidas con la energía de tensión del polvo correcta, así que sí.

Pregunta 4: ¿Qué pasa con variar $g_{\mu\nu}$ tenencia $P^\mu$ ¿fijado?

Esto es un poco más sutil --- cuando varías $g_{\mu\nu}$ varías el volumen del espacio-tiempo así como la métrica local, pero tienes que hacer la variación manteniendo fijo el número de partículas. si varías $g_{\mu\nu}$ en constante $\rho$ obtienes la variación incorrecta --- reducirás el número de partículas a medida que disminuyas el volumen total del espacio-tiempo. Esto significa que $\rho$ necesita transformarse como una densidad cuando varías $g$ .

Para evitar tener que lidiar con la densidad, Dirac utiliza el hecho de que la $P^{\mu}$ es una cantidad conservada localmente, en ausencia de gravedad, por lo que se transforma en un vector simple. La variación de densidad de $\rho$ es absorbida por el factor de $\sqrt{g}$ incluido en la definición $P$ . Así que no hay variación de volumen adicional para $P^{\mu}$ . Puedes hacerlo sin la simplificación de Dirac y obtienes la misma respuesta, pero es un poco más de álgebra y menos esclarecedor conceptualmente.

Pregunta 5: ¿Cuál es la mejor manera de derivar todo?

No creo que la forma del principio de acción sea necesariamente mejor, porque la ecuación macroscópica del tipo que describe un polvo no tiene que seguirse de un Lagrangiano. Pueden tener disipación. Entonces, si acopla un fluido de Navier Stokes en disipación a la gravedad, aún espera tener una buena ecuación de movimiento con viscosidad, pero no espera una descripción lagrangiana cuando la viscosidad es distinta de cero.

Las tensiones debidas a la viscosidad no son lagrangianas, pero aun así gravitan, y no hay razón para omitir ciertas tensiones porque no son fundamentales. En la época de Dirac, hubo un impulso para tratar de hacer que las teorías clásicas fueran lo más completas posible, porque eran guías para una teoría más completa. Entonces, Dirac podría haber querido considerar un modelo donde el electrón es un modelo de polvo continuo, por ejemplo, y luego es importante tener un Lagrangiano. Las teorías modernas de la gravedad cuántica han avanzado hasta el punto en que creo que no es necesario ser tan pedante, y las cosas levemente inconsistentes como la partícula puntual están bien en los pasos intermedios. Así que no hay razón para preferir un enfoque lagrangiano para este tipo de cosas, aunque es bueno cuando existe.

Ron, ¡muchas gracias por esta increíble respuesta! Iré con cuidado y lo pensaré durante algún tiempo antes de hacer más preguntas. Pero ahora tengo una: creo que las ecuaciones de disipación de Navier Stokes son, en cierto sentido, solo una aproximación para los fenómenos microscópicos, por lo que está bien que no se pueda derivar de un Lagrangiano. Pero las interacciones fundamentales (en el nivel clásico) parecen ser posibles de derivar de un Lagrangiano, ¿no es así?
@Ondrej: en general, debe esperar antes de aceptar una respuesta, es posible que lleguen mejores respuestas. Este material no es original para mí, así que no hay necesidad de alabar. El punto que estaba diciendo es que el polvo es tan no fundamental como los fluidos disipativos, por lo que si está de acuerdo con que Navier Stokes no sea lagrangiano, ¿por qué no el polvo? Si acopla el modelo estándar a GR, simplemente agrega los lagrangianos y no hay restricciones obvias sobre el asunto de la gravedad. Para la teoría de cuerdas, que es una teoría más fundamental, se necesita consistencia y existen fuertes restricciones sobre la materia permitida.

Lagrangiano para preguntas de derivación de polvo relativista

Ondřej Čertík

Jon

Ondřej Čertík

Ondřej Čertík

Ron Maimón

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Ron Maimón

Pregunta 1: ¿por qué esto no está en libros que no sean de Dirac?

Pregunta 2: Relación entre la acción del polvo y la acción de la longitud del arco

Pregunta 3: ¿La acción de Dirac es completa para polvo/gravedad?

Pregunta 4: ¿Qué pasa con variar $g_{\mu\nu}$ tenencia $P^\mu$ ¿fijado?

Pregunta 5: ¿Cuál es la mejor manera de derivar todo?

Ondřej Čertík

Ron Maimón

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Ondřej Čertík

Jon

Ondřej Čertík

Ondřej Čertík

Ron Maimón

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Ron Maimón

Pregunta 1: ¿por qué esto no está en libros que no sean de Dirac?

Pregunta 2: Relación entre la acción del polvo y la acción de la longitud del arco

Pregunta 3: ¿La acción de Dirac es completa para polvo/gravedad?

Pregunta 4: ¿Qué pasa con variargramoμ ν gramo m v g_{\mu\nu}tenenciaPAGm PAG m P^\mu¿fijado?

Pregunta 5: ¿Cuál es la mejor manera de derivar todo?

Ondřej Čertík

Ron Maimón

Pregunta 4: ¿Qué pasa con variar $g_{\mu\nu}$ tenencia $P^\mu$ ¿fijado?