La relación entre la superficie crítica y el punto fijo (renormalización)

En el libro , leí algunos comentarios sobre la criticidad:

Las iteraciones del mapa de renormalización (grupo) generan una secuencia de puntos en el espacio de acoplamientos, que llamamos trayectoria de grupo de renormalización. Dado que la longitud de la correlación se reduce en un factor b < 1 en cada paso, una trayectoria típica de grupo de renormalización tiende a alejar al sistema de la criticidad. Debido a que la longitud de la correlación es infinita en el punto crítico, se necesitan infinitas iteraciones para salir de ese punto. En general, un sistema es crítico no solo en un punto dado en el espacio de acoplamiento, sino en toda una "hipersuperficie", que llamamos superficie crítica o, a veces, línea crítica.

Creo que estos comentarios están bien. Pero luego los autores dan una declaración:

La superficie crítica es el conjunto de puntos en el espacio de acoplamiento cuyas trayectorias de grupo de renormalización terminan en el punto fijo:

límite norte → ∞ T norte ( j ) = j C ,
dónde T es el mapa de grupo de renormalización y j representa los acoplamientos en general.

La pregunta es, ¿cómo entender correctamente esta afirmación? Para esto, particularmente tengo dos pequeñas preguntas. ¿Por qué la línea crítica necesita golpear el punto fijo? ¿Y por qué la línea crítica debe terminar en el punto fijo en lugar de dejar el punto fijo bajo la transformación del grupo de renormalización?

Respuestas (2)

Intentaré explicar por qué podría haber una línea crítica y no solo un punto crítico y, con suerte, eso responderá a su pregunta. Si piensas en el modelo de Ising, tenemos el hamiltoniano estándar:

− β H = j 1 ∑ < i , j > s i s j + h ∑ i s i
dónde ∑ < i , j > es una suma sobre los vecinos más cercanos. Este modelo tiene un punto fijo en un valor crítico de j 1 y h . Las generalizaciones simples del modelo de Ising pueden incluir interacciones entre los vecinos más cercanos y los vecinos más cercanos.

− β H = j 1 ∑ < i , j > s i s j + j 2 ∑ ( i , j ) s i s j + h ∑ i s i

dónde ( i , j ) indica los siguientes pares de vecinos más cercanos. Este modelo también puede ser crítico para ciertos valores de j 1 y j 2 y estos puntos se encuentran en una línea crítica. Esto tiene sentido intuitivo porque j 1 y j 2 están capturando claramente efectos físicos similares (ambos sesgan los giros hacia la alineación) y, por lo tanto, son algo redundantes.

Es importante reconocer que el punto crítico en realidad existe en un espacio dimensional superior { j } . Todos los puntos en la línea crítica (o superficie) terminan en el punto crítico bajo transformaciones RG iteradas. La razón por la que esto es importante es porque los puntos que están arbitrariamente cerca de la superficie crítica terminan arbitrariamente cerca del punto crítico bajo la transformación RG, y luego todos se alejan del punto crítico de la misma manera. Este es el origen de la universalidad.

¿Te refieres al espacio dimensional inferior? { j } donde solo hay un punto critico, que el punto critico es exactamente lo mismo que el punto fijo?
sí, el punto crítico es un punto fijo cuando solo tienes j 1 , sin embargo, hay otros puntos fijos, no críticos
¿Cómo podemos probar que el punto crítico es un punto fijo cuando solo tenemos j 1 ?
En un punto fijo el sistema es invariante a las transformaciones de escala. Esto significa que la longitud de correlación en un punto fijo es cero o infinito. Un punto fijo con longitud de correlación infinita es un punto fijo crítico. Esta es la mejor definición de punto crítico que conozco.

Consulte Modelo crítico de ising 2d para obtener aclaraciones sobre la diferencia entre el punto crítico y el punto fijo. Lo que dijo Patrick no es correcto. El hamiltoniano de Ising (solo acoplamientos más cercanos) en el valor especial de j 1 es un punto crítico pero no un punto fijo. La superficie crítica es una enorme variedad de dimensión infinita. En ella se encuentra la línea crítica (terminología menos estándar) que comienza en el punto fijo de Gauss en el UV y termina en el punto fijo de Wilson-Fisher en el IR. Esta es la línea denotada por "F" en esta pregunta relacionada: ϕ 4 -teoría: interpretación del flujo RG

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