Dependencia de coordenadas en una expansión de producto de operador

Question

Dependencia de coordenadas en una expansión de producto de operador

Física
operadores
renormalización
teoría cuántica de campos
mecánica estadística
teoría del campo conforme

Jim123

De acuerdo con las conferencias de Cardy sobre la teoría del campo conforme , la forma general de la expansión del producto de un operador es

ϕ_{i} (r_{i}) \cdot ϕ_{j} (r_{j}) = \sum_{k} C_{i j k} (r_{i} - r_{j}) ϕ_{k} ((r_{i} + r_{j}) / 2)),

$\phi_{i}(r_{i})\cdot\phi_{j}(r_{j})=\sum_{k}C_{ijk}(r_{i}-r_{j})\phi_{k}((r_{i}+r_{j})/2)),$ ver página 5 Ec.(4).

No entiendo por qué los campos en el lado derecho de esta ecuación necesariamente solo dependen de $(r_{i}+r_{j})/2$ . En principio me parece que podrían depender de ambos $r_{i}$ y $r_{j}$ o equivalentemente en ambos $(r_{i}+r_{j})/2$ y $r_{i}-r_{j}$ .

Tomemos el ejemplo simple de operadores de vértice que cumple

: {mi}^{i α ϕ (z)} :: {mi}^{i β ϕ (w)} := {mi}^{- α β ⟨ ϕ (z) ϕ (w) ⟩} : {mi}^{i α ϕ (z) + i β ϕ (w)} :

$:e^{i\alpha\phi(z)}::e^{i\beta\phi(w)}: = e^{-\alpha\beta\langle\phi(z)\phi(w)\rangle} :e^{i\alpha\phi(z)+i\beta\phi(w)}:$ Típicamente tenemos

e^{- α β ⟨ ϕ (z) ϕ (w) ⟩} \propto \ln (z - w)

$e^{-\alpha\beta\langle\phi(z)\phi(w)\rangle}\propto\ln(z-w)$ de lo cual puedo entender por qué el

C_{i j k}

$C_{ijk}$ solo depende de

z - w

$z-w$ . Pero no me queda claro por qué el campo

e^{i α ϕ (z) + i β ϕ (w)}

$e^{i\alpha\phi(z)+i\beta\phi(w)}$ solo depende de

(z + w) / 2

$(z+w)/2$ .

Sería muy feliz si alguien pudiera explicarme este punto.

Respuestas (1)

Dependencia de coordenadas en una expansión de producto de operador

qmecanico · Answer 1

El OPE más general es de la forma
$\begin{matrix} (1) & ϕ_{i} (X) ϕ_{j} (y) = \sum_{k} C_{i j}^{k} (X - y, y - z, z - X) ϕ_{k} (z), \end{matrix}$ $\phi_i(x)\phi_j(y)~=~\sum_k C_{ij}^k(x-y, y-z,z-x) ~\phi_k(z),\tag{1}$ dónde $z$ es un tercer punto. ecuación (1) es una abreviatura de $\begin{matrix} (2) & ⟨ \dots ϕ_{i} (X) ϕ_{j} (y) \dots ⟩ = \sum_{k} C_{i j}^{k} (X - y, y - z, z - X) ⟨ \dots ϕ_{k} (z) \dots ⟩, \end{matrix}$ $\langle \ldots \phi_i(x)\phi_j(y)\ldots\rangle~=~\sum_k C_{ij}^k(x-y, y-z,z-x) ~\langle \ldots\phi_k(z)\ldots\rangle,\tag{2}$ dónde $\ldots$ denota otras inserciones de operadores. En firma euclidiana, para un convergente $^1$ suma, los puntos $x$ y $y$ debería estar más cerca de $z$ que otros puntos de inserción.
Normalmente se supone que el OPE tiene la forma
$\begin{matrix} (3) & ϕ_{i} (X) ϕ_{j} (y) = \sum_{k} C_{i j}^{k} (X - y) ϕ_{k} (z_{λ}), \end{matrix}$ $\phi_i(x)\phi_j(y)~=~\sum_k C_{ij}^k(x-y) ~\phi_k(z_{\lambda}),\tag{3}$ dónde $z_{\lambda}$ se toma para mentir en la línea $^2$ $\begin{matrix} (4) & z_{λ} = λ X + (1 - λ) y \end{matrix}$ $z_{\lambda} ~=~ \lambda x + (1-\lambda)y \tag{4}$ que pasa por los puntos $x$ y $y$ . Aquí $\lambda\in\mathbb{R}$ es una constante convencional fija, típicamente elegida para ser, digamos, $0$ , $\frac{1}{2}$ , o $1$ . púas cardy $\lambda=\frac{1}{2}$ . Muchos libros de texto de teoría de cuerdas sobre CFT eligen $\lambda=0$ .
Se supone implícitamente que el $k$ -sum en el lado derecho de la OPE (3) se ejecuta en un conjunto completo de operadores locales $\phi_k$ en la teoría. Esto en particular significa que para cada $k$ , los derivados de $\phi_k$ wrt. $z_{\lambda}$ debe ser de nuevo una combinación lineal de los $\phi_{\ell}$ 's.
Tenga en cuenta que si elegimos otra constante convencional $\mu\in\mathbb{R}$ , entonces la diferencia
$\begin{matrix} (5) & z_{λ} - z_{m} = (λ - m) (X - y) \end{matrix}$ $z_{\lambda}-z_{\mu} ~=~(\lambda-\mu)(x-y) \tag{5}$ es proporcional a la diferencia $x-y$ .
En particular, las diferencias $x-z_{\lambda}$ y $y-z_{\lambda}$ son de nuevo proporcionales a la diferencia $x-y$ . Hablando ingenuamente, si Taylor tuviera sentido expandir el lado izquierdo del OPE (3) alrededor del punto $z_{\lambda}$ en lugar de los dos puntos $x$ y $y$ , obtendríamos un operador que depende de los dos puntos $z_{\lambda}$ y $x-y$ . Tales argumentos heurísticos hacen del lado derecho del OPE (3) un Ansatz plausible.
Bueno, eso es todo lo que queremos decir sobre la existencia de la OPE (3). Con respecto a la unicidad, si Taylor expande $\phi_k(z_{\lambda})$ en el OPE (3) alrededor del punto $z_{\mu}$ en lugar de $z_{\lambda}$ , entonces la OPE seguiría siendo de la forma
$\begin{matrix} (4) & ϕ_{i} (X) ϕ_{j} (y) = \sum_{k} {\tilde{C}}_{i j}^{k} (X - y) ϕ_{k} (z_{m}) . \end{matrix}$ $\phi_i(x)\phi_j(y)~=~\sum_k \tilde{C}_{ij}^k(x-y) ~\phi_k(z_{\mu}).\tag{4}$ los coeficientes $\tilde{C}_{ij}^k(x-y)$ podrían ser diferentes, pero el punto crucial es que todavía solo dependerían de la diferencia $x-y$ ; no en $x$ y $y$ individualmente.

Referencias:

J. Cardy, Teoría de campos conformes y mecánica estadística, arXiv:0807.3472 ; ecuaciones (3) y (4).
P. Ginsparg, Teoría de campo conforme aplicada, arXiv:hep-th/9108028 ; ec. (2.11).

--

$^1$ Para un genérico no CFT, el rhs. de la ec. (2) es sólo una serie asintótica.

$^2$ Estrictamente hablando, la línea debería ser una geodésica afínmente parametrizada.

Dependencia de coordenadas en una expansión de producto de operador

Jim123

Respuestas (1)

qmecanico

¿Cuál es la diferencia entre la invariancia de escala y la autosimilitud?

La relación entre la superficie crítica y el punto fijo (renormalización)

Modelo crítico de ising 2d

Cambio de escala de las constantes de acoplamiento hamiltonianas efectivas en el grupo de renormalización de Wilsonain

Renormalización y movimiento browniano

Exponentes críticos y dimensiones de escala de la teoría RG

¿Por qué los OPE tienen un radio finito de convergencia en los CFT, pero no necesariamente en los QFT?

Renormalización con momentos externos establecidos en cero

Definición de una CFT usando funciones beta

¿Por qué ρmρm\rho_m es proporcional a la desviación de la temperatura crítica en los fenómenos críticos?