Modelo crítico de ising 2d

El punto crítico no es lo mismo que el punto fijo RG. Dejar$\mathcal{T}$denotar "espacio teórico" que significa el conjunto de todas las posibles medidas de probabilidad en campos de valores reales en la red de unidades fijas$\mathbb{Z}^2$. Block-spin o diezmación, etc. te dan un mapa$R:\mathcal{T}\rightarrow \mathcal{T}$, a saber, una transformación de grupo de renormalización. La imagen a tener en cuenta es que hay un punto especial$V_{\ast}\in \mathcal{T}$tal que$R(V_{\ast})=V_{\ast}$. Ese es el punto fijo RG. Es hiperbólica y tiene una variedad estable.$W^s$(la superficie crítica) así como una variedad inestable$W^u$. Ahora$\beta\mapsto {\rm Ising}(\beta)$es una curva especial de un parámetro en el gran espacio$\mathcal{T}$. Es la curva hecha de hamiltonianos NN Ising limpios sin términos adicionales. El punto crítico es la intersección de esta curva con$W^s$y corresponde a un valor especial$\beta_c$de la temperatura inversa. Para obtener más información sobre las diversas formas de ver una QFT: un conjunto de funciones de correlación, una medida de probabilidad en el espacio de distribuciones, un punto en$\mathcal{T}$o una órbita completa de$R$en$\mathcal{T}$ver el final de la Sección 4 de mi breve artículo QFT, RG, y todo eso, para matemáticos, en once páginas .

Resumen:

1. "La propiedad definitoria de la teoría en el punto crítico es que es invariante bajo flujos RG" es incorrecta porque$R({\rm Ising}(\beta_c))\neq {\rm Ising}(\beta_c)$. De hecho, por definición de variedad estable,$\lim_{n\rightarrow \infty} R^n({\rm Ising}(\beta_c))=V_{\ast}$, el verdadero punto fijo.
2. "Cualquier teoría crítica implicará necesariamente acoplamientos adicionales de mayor espín". también está mal porque${\rm Ising}(\beta_c)$es NN y también es una teoría crítica. El conjunto de teorías críticas es toda la variedad estable$W^s$.

Esta es una gran pregunta. Las páginas 15 y 16 de estas notas argumentan que ningún hamiltoniano de espín no trivial puede ser un punto fijo bajo la destrucción de espín, pero no entiendo por qué su argumento no se sostiene en el caso 1D. Las notas terminan con el comentario críptico.

hay muchos RG. El objetivo no es ver cuántos no funcionan, sino encontrar uno que sí lo haga.

Sospecho que bajo diezmado de espín repetido, el modelo 2D Ising hamiltoniano eventualmente convergerá en un hamiltoniano de punto fijo extremadamente complicado con$n$-acoplamientos giratorios para todos incluso$n$(extraño-$n$los acoplamientos romperían el hamiltoniano$\mathbb{Z}_2$simetría$\sigma_i \to -\sigma_i$), con coeficientes de acoplamiento que decaen exponencialmente con$n$. Aunque obviamente es mucho más complicado que el hamiltoniano original, este hamiltoniano de punto fijo estaría en la misma clase de universalidad de Ising y, por lo tanto, tendría la misma física de larga distancia. Dado que la elección particular del esquema de renormalización de espín es sensible a los rayos UV, el hamiltoniano de punto fijo resultante dependerá de su elección de esquema RG, pero cada esquema RG posible debería producir un hamiltoniano de punto fijo en la misma clase de universalidad, que es todo eso. importante para la física de bajas energías.

Si bien hay muchos detalles técnicos involucrados en este tema, lo que sucede aquí se puede explicar en términos muy simples. Suponga que ha encontrado un esquema RG exacto. Luego, comenzando en el punto crítico del modelo de Ising, terminará en el punto fijo crítico en el límite de escala. Pero sabemos que esta teoría del punto fijo también se puede describir como una teoría de campos (un modelo de fermiones libres en el caso 2d). Pero, ¿cómo se puede terminar con una teoría de campo que tiene simetrías como la invariancia bajo traslaciones y rotaciones si todo lo que se está haciendo es aplicar transformaciones de espín de bloques?

La respuesta es que estas simetrías terminarán siendo implementadas por todos esos términos de acoplamiento de espín superior. A medida que se acerque al punto crítico, la gran cantidad de acoplamientos en su red comenzará a emular los términos de la teoría del campo cada vez mejor. Puede describir el enfoque del punto fijo crítico también desde la perspectiva de la teoría de campos agregando los llamados operadores irrelevantes al modelo de punto fijo que fluye a cero. El hecho de que el flujo de RG partiera de un modelo reticular significa que antes de alcanzar el límite de escalado infinito, habrá restos de ruptura de la simetría traslacional que aún tendrán que fluir hasta cero. La presencia de dichos operadores irrelevantes afecta el comportamiento crítico del modelo, los exponentes para la corrección del comportamiento de escalado dependen de la dimensión de escalado de los operadores irrelevantes.