Cambio de escala de las constantes de acoplamiento hamiltonianas efectivas en el grupo de renormalización de Wilsonain

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Cambio de escala de las constantes de acoplamiento hamiltonianas efectivas en el grupo de renormalización de Wilsonain

skz

Estoy confundido acerca de un aspecto del cambio de escala constante de acoplamiento en el procedimiento de grupo de renormalización wilsoniano. (Estoy siguiendo la "Física estadística de campos, Capítulo 5" de Kardar). Creo que entiendo la idea básica del grupo de renormalización, pero estoy en la licenciatura y no he tomado teoría de campo o un curso avanzado de estadística mecánica, así que si tengo un error conceptual en alguna parte. Realmente agradecería cualquier corrección.

La función de partición para el hamiltoniano de Landau Ginzburg se escribe como ( $\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}) \ \text{and }\sigma(\mathbf{q})$ son la división del campo original en componentes lentos y rápidos)

\begin{aligned} Z & = \int D \tilde{\vec{metro}} (q) D σ (q) Exp {- \int_{0}^{Λ} \frac{d^{d} q}{(2 π)^{d}} (\frac{t + k q^{2}}{2}) (| \tilde{metro} (q) |^{2} + | σ (q) |^{2}) - tu [\tilde{\vec{metro}} (q), σ (q)]} \\ = \int D \tilde{\vec{metro}} (q) Exp {- \int_{0}^{Λ} \frac{d^{d} q}{(2 π)^{d}} (\frac{t + k q^{2}}{2}) (| \tilde{metro} (q) |^{2}} Exp {- \frac{norte V}{2} \int_{Λ / b}^{Λ} \frac{d^{d} q}{(2 π)^{d}} registro (t + k q^{2})} ⟨ {mi}^{- tu [\tilde{\vec{metro}}, \vec{σ}]} ⟩_{σ} \end{aligned}

$\begin{align} Z &= \int D\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q})D\sigma(\mathbf{q}) \exp{\bigg\{- \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \bigg( \frac{t + K q^2}{2} \bigg) (|\tilde{m}(\mathbf{q})|^2} + |\sigma(\mathbf{q})|^2)-U[\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}),\sigma(\mathbf{q})] \bigg\}\\ &= \int D\tilde{\vec{m}}(\mathbf{q}) \exp{\bigg\{- \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \bigg( \frac{t + K q^2}{2} \bigg) (|\tilde{m}(\mathbf{q})|^2}\bigg\} \exp{\bigg\{-\frac{nV}{2} \int_{\Lambda/b}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}}{(2\pi)^d} \log(t + K q^2) \bigg\}} \bigg\langle e^{-U[\tilde{\vec{m}},\vec{\sigma}]}\bigg\rangle_{\sigma} \end{align}$ Creo que entiendo el procedimiento general: integre los momentos por encima del límite; reescalar los momentos

q = b^{- 1} q^{'}

$\mathbf{q} = b^{-1} \mathbf{q}'$ y el campo

\tilde{\vec{m}} = z {\vec{m}}^{'}

$\tilde{\vec{m}} = z {\vec{m}\,}'$ . Entonces obtienes el nuevo hamiltoniano:

(β H)^{'} [{metro}^{'}] = V (d F_{b}^{0} + tu d F_{b}^{1}) + \int_{0}^{Λ} \frac{d^{d} q^{'}}{(2 π)^{d}} b^{- d} z^{2} (\frac{\tilde{t} + k b^{- 2} q^{' 2}}{2}) | {metro}^{'} (q^{'}) |^{2} + tu b^{- 3 d} z^{4} \int_{0}^{Λ} \frac{d^{d} q_{1}^{'} d^{d} q_{2}^{'} d^{d} q_{3}^{'} d^{d} q_{4}^{'}}{(2 π)^{d}} \vec{metro} (q_{1}^{'}) \cdot \vec{metro} (q_{2}^{'}) \vec{metro} (q_{3}^{'}) \cdot \vec{metro} (q_{4}^{'}) d^{d} (q_{1}^{'} + q_{2}^{'} + q_{3}^{'} + q_{4}^{'})

$(\beta H)'[m'] = V(\delta f_b^0 + u \delta f_b^1) + \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q'}}{(2\pi)^d} b^{-d}z^2\bigg( \frac{\tilde{t} + K b^{-2} q'^2}{2} \bigg) |m'(\mathbf{q'})|^2 +u b^{-3d} z^4 \int_{0}^{\Lambda} \frac{d^d \mathbf{q}'_1 d^d \mathbf{q}'_2 d^d \mathbf{q}'_3 d^d \mathbf{q}'_4}{(2\pi)^d} \vec{m}(\mathbf{q}'_1)\cdot \vec{m}(\mathbf{q}'_2)\vec{m}(\mathbf{q}'_3)\cdot\vec{m}(\mathbf{q}'_4) \ \delta^d(\mathbf{q}'_1+\mathbf{q}'_2+\mathbf{q}'_3+\mathbf{q}'_4)$

donde el $t$ es

\tilde{t} = t + 4 tu (norte - 2) \int_{Λ / b}^{Λ} \frac{d^{d} \vec{k}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{t + k k^{2}}

$\tilde{t} = t+4u(n-2) \int_{\Lambda/b}^{\Lambda} \frac{d^d \vec{k}}{(2\pi)^d} \frac{1}{t+K\ k^2}$

entonces tu eliges $z=b^{1+\frac{d}{2}}$ de modo que $K$ Se mantiene igual: $K'=K, \ u' = b^{-3d} \ z^4 \ u, \ \text{and} \ t'= b^{-d} \ z^2 \ \tilde{t}$ .

Mi pregunta es: ¿por qué no $u$ adentro $\tilde{t}$ Convertirse en un $u'$ ? Según tengo entendido, los acoplamientos cambian con el corte, por lo que no debería el $u$ ser reemplazado con $u'$ dondequiera que aparezca? Si no, ¿por qué no, y cuál es el significado físico de esto? (Originalmente preguntado aquí , pero decidí dividirlo en preguntas separadas).

Respuestas (1)

Cambio de escala de las constantes de acoplamiento hamiltonianas efectivas en el grupo de renormalización de Wilsonain

beber · Answer 1

Lo que está haciendo como parte de este cálculo es derivar la relación entre las constantes de acoplamiento del modelo en la escala aproximada y la escala original. Los resultados que obtienes,

k^{'} = k

$K' = K$

{tu}^{'} = b^{- 3 d} z^{4} tu,

$u' = b^{-3d} z^4 u,$

t^{'} = b^{- d} z^{2} (t + (norte - 2) \int_{Λ / b}^{Λ} \frac{d^{d} \vec{k}}{(2 π)^{d}} \frac{1}{t + k k^{2}})

$t' = b^{-d} z^2 \left(t + (n-2)\int_{\Lambda/b}^\Lambda \frac{d^d\vec{k}}{(2\pi)^d} \frac{1}{t+K k^2}\right)$ son las llamadas relaciones de recurrencia entre los parámetros en la escala fina original (

K

$K$ ,

u

$u$ , y

t

$t$ ) y los parámetros en la escala gruesa (

K^{'}

$K'$ ,

u^{'}

$u'$ , y

t^{'}

$t'$ ). no reemplazas

u

$u$ con

u^{'}

$u'$ en

\tilde{t}

$\tilde{t}$ por la misma razón que no reemplaza el

t

$t$ con

t^{'}

$t'$ . es decir, los lados de la derecha son los parámetros antiguos en la escala original, los lados de la izquierda son los nuevos parámetros en la escala más gruesa.

Las cantidades con prima son en realidad solo un reetiquetado de términos en su hamiltoniano burdo para que coincida con el hamiltoniano original (hasta aproximaciones); no son un cambio de variables. El único cambio de variables que está realizando actualmente es el reescalado de los grados de libertad.

En caso de que ayude a aclarar lo que realmente está haciendo durante este cálculo, desarrollaré la última oración: el procedimiento del grupo de renormalización consta de dos pasos distintos: 1) promediar (integrar) los grados de libertad estadísticos y 2) hacer un cambio de variables en los grados de libertad restantes para restaurar el sistema a su escala original.

Me gusta pensar en esto en términos de distribuciones de probabilidad: si tienes una distribución multivariante $p(m_1,m_2,\dots,\sigma_1,\sigma_2,\dots) \propto \exp(-H(m_1,m_2,\dots,\sigma_1,\sigma_2,\dots))$ , entonces el primer paso del procedimiento de renormalización del grupo es marginar (promediar) las variables $\sigma_1,\dots$ para obtener la distribución $p(m_1,m_2,\dots)$ . Luego, define un nuevo conjunto de variables reescaladas $m_1',m_2',\dots$ , dando una nueva distribución

{pag}^{'} ({metro}_{1}^{'}, {metro}_{2}^{'}, \dots) = | \frac{\partial \vec{metro}}{\partial \vec{{metro}^{'}}} | pag ({metro}_{1} ({\vec{metro}}^{'}), {metro}_{2} ({\vec{metro}}^{'}), \dots) \propto {mi}^{- H^{'} ({metro}_{1}^{'}, {metro}_{2}^{'}, \dots)},

$p'(m_1',m_2',\dots) = \left|\frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m'}} \right| p(m_1(\vec{m}'),m_2(\vec{m}'),\dots) \propto e^{-H'(m_1',m_2',\dots)},$ dónde

| \frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m^{'}}} |

$\left|\frac{\partial \vec{m}}{\partial \vec{m'}} \right|$ es el jacobiano del cambio de variables (he asumido variables continuas por simplicidad aquí).

A menudo, este cambio de variables es solo un cambio de escala $m' \sim z m$ (y, por lo tanto, el jacobiano no agrega ningún término importante al hamiltoniano). Después de esto, definir las constantes de acoplamiento con prima es, en cierto sentido, solo una cuestión de limpieza notacional. Dado que esperamos que en muchos casos nuestro hamiltoniano de grano grueso tenga más o menos la misma forma que nuestro hamiltoniano original, tiene sentido definir nuevas constantes de acoplamiento para que la forma de los dos hamiltonianos sea superficialmente similar. por ejemplo, si el término de interacción por pares en el hamiltoniano original fuera $J m_i m_j$ y el término por pares en el hamiltoniano grueso es $f(J,{\rm other~couplings}) m_i' m_j'$ , definimos $J' = f(J,{\rm other~couplings})$ .

El salto conceptual que sigue es que, si somos capaces de realizar este procedimiento en primer lugar, mezclando el hamiltoniano grueso hasta que se parece al hamiltoniano original, entonces no hay nada* que nos impida hacer esto una y otra vez, obteniendo un nuevo juego de acoplamientos gruesos gruesos $J'' = f(J',{\rm other~couplings}')$ , lo que nos permite interpretar esta relación entre los acoplamientos como una relación de recurrencia a diferentes escalas. (*advertencia importante: si solo hay un número finito de grados de libertad, entonces solo podemos realizar este procedimiento un número finito de veces).

Muchas gracias por tu respuesta, es de gran ayuda. Sospechaba que algo así era el caso y era la razón de mi confusión. ¡La sugerencia de pensar en las distribuciones es genial! ¿ Puedes ayudar también con la parte 2 de mi pregunta aquí ? Me gustaría escribir la 'energía libre' como $Z' = \int Dm'(\mathbf{q}) e^{(\beta H_{gaussian})'[m'] + U'[m']} \rightarrow F_{gaussian} + F_{corrections}$ pero no puedo ver cómo expandir el registro (integral). ¡Gracias de nuevo!
Lo siento, olvidé poner el enlace a mi pregunta original: physics.stackexchange.com/questions/552497/…

Cambio de escala de las constantes de acoplamiento hamiltonianas efectivas en el grupo de renormalización de Wilsonain

skz

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beber

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