Exponentes críticos y dimensiones de escala de la teoría RG

Question

Exponentes críticos y dimensiones de escala de la teoría RG

Estudiante de Física

En la mayoría de los libros (como el de Cardy) se dan relaciones entre exponentes críticos y dimensiones de escala, por ejemplo

α = 2 - d / y_{t}, v = 1 / y_{t}, β = \frac{d - y_{h}}{y_{t}}

$\alpha = 2-d/y_t, \;\;\nu = 1/y_t, \;\; \beta = \frac{d-y_h}{y_t}$ etcétera. Aquí

y_{t}

$y_t$ y

y_{h}

$y_h$ son dimensiones de escala de variables de escala

u_{t}

$u_t$ y

u_{h}

$u_h$ relacionado con la temperatura (reducida)

t

$t$ y campo

h

$h$ . Esto siempre se discute en el contexto del modelo Ising. estoy confundido acerca de lo que

y_{t}

$y_t$ y

y_{h}

$y_h$ son en general? En general tienes dimensiones de escala

y_{1}, y_{2} \dots y_{n}

$y_1, y_2\dots y_n$ para los campos de escala

u_{1}, u_{2}, \dots u_{n}

$u_1, u_2,\dots u_n$ , donde no está claro qué

y_{t}

$y_t$ y

y_{h}

$y_h$ son. En los casos en que el RG es 'diagonal',

t

$t$ y

h

$h$ en sí mismas son variables de escala, el problema no existe, pero esa no es la situación general.

Por ejemplo, la ecuación RG del modelo XY en $d=2+\epsilon$ es

\frac{d T}{d yo} = - ϵ T + 4 π^{3} y^{2}, \frac{d y}{d yo} = (2 - \frac{π}{T}) y,

$\frac{dT}{dl} = -\epsilon T+ 4\pi^3 y^2,\;\; \frac{dy}{dl} = \left(2-\frac{\pi}T\right)y,$ dónde

T

$T$ es la temperatura y

y

$y$ está relacionado con la fugacidad del vórtice. Hay un punto fijo de temperatura finito para

T^{⋆} = π / 2

$T^\star=\pi/2$ . Imagina que queremos calcular

ν

$\nu$ y

α

$\alpha$ en este punto fijo no trivial. Linealizando lo anterior en el punto fijo, obtenemos unas dos dimensiones

y_{1}

$y_1$ y

y_{2}

$y_2$ para dos variables de escala

u_{1}

$u_1$ y

u_{2}

$u_2$ . Estas variables son combinaciones lineales de

T

$T$ y

y

$y$ . ¿Cómo puedo saber qué dimensión de escala/valor propio corresponde al valor propio térmico?

y_{t}

$y_t$ ? ¿Cuáles son los valores de

α

$\alpha$ y

ν

$\nu$ ?

Respuestas (1)

Exponentes críticos y dimensiones de escala de la teoría RG

Adán · Answer 1

El OP tiene razón en que los acoplamientos $g_1$ , $g_2$ ,... que parametrizan la teoría de campos son en general combinaciones del campo de escala de los puntos fijos RG $u_1$ , $u_2$ ,...

En el modelo de Ising, los dos campos de escala más relevantes $u_1$ y $u_2$ se puede asociar con la temperatura $t$ y el campo magnetico $h$ . Sin embargo, el OP está equivocado al decir eso. $u_1$ y $u_2$ son diagonales (lo que significa que $u_1=t$ , $u_2=h$ ). En efecto, en general, todo acoplamiento que respete la simetría de Ising tendrá una proyección sobre $u_1$ , mientras que todos los acoplamientos que rompen la simetría tendrán un componente en $u_2$ . Esto significa, por ejemplo, que uno puede, en principio, impulsar la transición no cambiando $t$ en la mera acción, sino cambiando la interacción $\lambda$ . En ese caso, la longitud de la correlación divergirá como $|\lambda-\lambda_c|^{-1/y_t}$ . Sin embargo, esto no suele ser lo que sucede con los modelos microscópicos y, por lo tanto, no se trata en la mayoría de los libros.

La confusión surge porque normalmente se trabaja en teoría de perturbaciones, donde se mantienen muy pocas constantes de acoplamiento, lo que implica una proyección de todo el flujo en un subespacio muy pequeño del espacio real de todas las constantes de acoplamiento.

Con respecto a la ecuación de flujo del modelo XY cercano a dos dimensiones, se debe notar que aquí solo tenemos un campo relevante (que naturalmente se asocia con la temperatura, ya que es el parámetro sintonizable experimentalmente), correspondiente a $u_1$ ya que conserva la simetría XY $y_t$ es, por lo tanto, el valor del valor propio positivo asociado con las desviaciones al punto fijo (uno luego calcula $\nu$ y $alpha$ de las ecuaciones dadas por el OP). No hay campo de ruptura de simetría aquí, por lo que uno no ve el efecto de $u_2$ , y su valor propio $y_h$ . En cambio, la otra dirección es irrelevante (también asociada con un campo simétrico XY), el valor propio solo contribuye a la corrección de la escala.

Muchas gracias, esto me aclara muchas pequeñas confusiones.
Solo una cosa, si tiene varios campos de ruptura de no simetría relevantes $g_1, g_2,\dots$ que luego da lugar a $u_1, u_2\dots$ con las escalas $y_1, y_2, \dots$ . ¿Significa eso que para cualquier $g_i$ , la longitud de la correlación divergerá como $|g_i - g_i^c|^{-\nu_i}$ , con diferente $\nu_i$ ? Si es así, cómo saber cuál $y$ corresponde a esto $\nu$ ?
El comportamiento más general de la longitud de correlación se puede escribir como |u_1-u_1^c|^{-\nu_1}f(|u_2-u_2^c|^{-\nu_2}|u_1-u_1^c|^{\ nu_1},...), mientras que la relación entre las g y las u puede ser, en principio, muy complicada. En todos los ejemplos que conozco, por lo general se puede relacionar $u_1$ y $u_2$ a dos parámetros físicos independientes y no hay ambigüedad: define un exponente para cada parámetro ajustable, y está bien (es solo una cuestión de convenciones). Consulte, por ejemplo, journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.28.675

Exponentes críticos y dimensiones de escala de la teoría RG

Estudiante de Física

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Adán

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Adán

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