Definición de una CFT usando funciones beta

Question

Definición de una CFT usando funciones beta

Física
teoria de las cuerdas
renormalización
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme

usuario6818

¿No sería correcto definir una CFT como una QFT tal que la función beta de todos los acoplamientos desaparezca?

Pero, ¿no podría ser posible que la función beta de un acoplamiento dimensional se desvanezca pero lo haga en un valor distinto de cero, entonces la invariancia de escala no se genera aunque se detiene el flujo de renormalización? es posible?

(... obviamente es cierto que una teoría sin escala intrínseca o parámetro dimensional aún no puede ser una CFT, como una deformación marginal de una CFT puede no mantenerla como CFT y luego este parámetro de deformación tiene que fluir a un punto fijo para un nuevo CFT que se producirá en ese valor de punto fijo del acoplamiento marginal..)

Siva

Considere una teoría 4d con un acoplamiento de Yukawa y un

ϕ^{4}

$\phi^4$ interacción para el escalar. Esto tiene puntos fijos IR para un valor particular de

\frac{λ}{g^{2}}

$\frac{\lambda}{g^2}$ , y los dos acoplamientos pueden ser distintos de cero.

usuario6818

@Siva ¿Cuál es tu definición de

λ

$\lambda$ y

g

$g$ ? ¿Y cómo encaja tu ejemplo con el tipo que estoy buscando? Creo que en su teoría sugerida todas las interacciones siguen siendo marginales. (ver aquí - physics.stackexchange.com/questions/62070/… )

Siva

Los acoplamientos están definidos por los siguientes términos en el lagrangiano:

λ ϕ^{4}

$\lambda \phi^4$ y

g ϕ ψ ψ

$g \phi \psi \psi$ . Preguntaste si puede haber una teoría con funciones beta que sean cero (es decir, los acoplamientos son fijos y no se vuelven a normalizar) pero los acoplamientos no son cero. Di un ejemplo de eso. Esencialmente, ese ejemplo tiene N = 1 SUSY (oculto en el fondo) que relaciona el escalar y el fermión (y ni siquiera necesita ser consciente de eso), lo que le da un punto tan fijo. Y sí, en mi ejemplo, todas las interacciones son marginales.

usuario6818

@Siva Precisamente mi punto: que NO es sorprendente si el flujo RG de un acoplamiento marginal tiene un punto fijo distinto de cero. El problema es muy interesante (¡y no intuitivo!) Si sucede para acoplamientos no marginales, eso es lo que pregunté en mi pregunta.

Siva

Ay, lo siento mucho. Entendí mal esa parte.

Respuestas (1)

Definición de una CFT usando funciones beta

Considere una teoría 4d con un acoplamiento de Yukawa y un $\phi^4$ interacción para el escalar. Esto tiene puntos fijos IR para un valor particular de $\frac{\lambda}{g^2}$ , y los dos acoplamientos pueden ser distintos de cero.
@Siva ¿Cuál es tu definición de $\lambda$ y $g$ ? ¿Y cómo encaja tu ejemplo con el tipo que estoy buscando? Creo que en su teoría sugerida todas las interacciones siguen siendo marginales. (ver aquí - physics.stackexchange.com/questions/62070/… )
Los acoplamientos están definidos por los siguientes términos en el lagrangiano: $\lambda \phi^4$ y $g \phi \psi \psi$ . Preguntaste si puede haber una teoría con funciones beta que sean cero (es decir, los acoplamientos son fijos y no se vuelven a normalizar) pero los acoplamientos no son cero. Di un ejemplo de eso. Esencialmente, ese ejemplo tiene N = 1 SUSY (oculto en el fondo) que relaciona el escalar y el fermión (y ni siquiera necesita ser consciente de eso), lo que le da un punto tan fijo. Y sí, en mi ejemplo, todas las interacciones son marginales.
@Siva Precisamente mi punto: que NO es sorprendente si el flujo RG de un acoplamiento marginal tiene un punto fijo distinto de cero. El problema es muy interesante (¡y no intuitivo!) Si sucede para acoplamientos no marginales, eso es lo que pregunté en mi pregunta.

Vibert · Answer 1

Vibert

Su definición es bastante buena y funciona casi siempre. Estoy bastante seguro de que es rigurosamente cierto en 2D. De hecho, lo encontrarás en algunas notas de clase. Recuerde que una teoría es conforme si la traza del tensor de tensión desaparece: $T \equiv T_\mu^{\mu} = 0.$ De hecho, hay un teorema popular que establece que

$T = \sum \beta_I \mathcal{O}^I$

donde la suma supera a esos operadores $O^I$ en la teoría con sus funciones beta $\beta_I$ (hasta los términos que generan la anomalía conforme en el espacio curvo).

Sin embargo, esto no es completamente cierto, y hay clases importantes de contraejemplos donde aparecen términos adicionales. Recientemente, estos ejemplos han generado cierta confusión en la literatura (en la búsqueda de teorías de escala pero no de conformidad invariante). Todo esto se entiende bien ahora y un buen punto de partida para sus estudios sería 1204.5221 [hep-th].

Editar: no olvide que las dimensiones del operador no están protegidas y cambian bajo el flujo RG.

Alumno

Cuando dice "T = 0", ¿qué está pensando sobre la anomalía conforme habitual que es proporcional a la curvatura escalar? ¿Qué quiere decir exactamente con "contraejemplos con términos adicionales"? ¿Son contraejemplos de qué? ¿Y puede dar una referencia a este reclamo "T=\sum \beta_I O_I"? ¿Se puede probar que una teoría cuando se sienta en un cero de todas sus funciones beta necesariamente tiene invariancia conforme?

Vibert

En cuanto a la primera observación: en dimensiones pares habrá términos proporcionales a esas densidades escalares, pero como probablemente estemos pensando en QFT en espacio plano, olvidémonos de ellos. La literatura sobre ellos es abundante. Esos contraejemplos tienen términos adicionales:

T= … + tensor con índices gauge , $T = \ldots + \text{tensor with gauge indices},$ ya que ocurren en las teorías de gauge. así que tener

T= 0 $T = 0$ ,

βI= 0 $\beta_I = 0$ no es el criterio correcto en esos casos. En cuanto a su último comentario: mi publicación pretendía decir que a menudo la respuesta es sí, pero en algunos casos hay cierta complejidad adicional (que ahora se entiende completamente).

usuario6818

@Vibert Entonces, está diciendo que, en general, se sabe que para los CFT uno siempre tendrá

T= ∑βIOI+ ( tensor con índices de calibre ) $T = \sum \beta_I O_I + (\text{tensor with gauge indices})$ ? ¿Su referencia prueba este hecho? También puede comentar sobre el otro aspecto de si para un acoplamiento dimensional es suficiente para que la función beta vaya a

0 $0$ ¿O también quiere que el cero esté en el valor del acoplamiento siendo 0?

Vibert

Eso es cierto para los QFT generales. En CFT,

T= 0 $T = 0$ . La referencia explica el hecho, la prueba se da en un artículo antiguo de Jack y Osborn, creo que el recurso original es 'Análogos del teorema c...' NPB 343. Para acoplamientos dimensionales debería ser suficiente que

β( gramo) = 0 $\beta(g) = 0$ , no necesita que el acoplamiento desaparezca.

usuario6818

@Vibert Entonces, cuando dices eso

T= 0 $T=0$ Quieres decir

⟨T _⟩ = 0 $\langle T \rangle =0$ ? Porque pensaría que, en general, incluso si clásicamente por algo

T= 0 $T=0$ , se volvería anómalo por correcciones cuánticas... ¿verdad? Entonces, ¿dónde hay una referencia que pruebe esto de que

<Tmm=βIOI⟩ = 0 $<T^\mu_\mu = \beta_I O_I \rangle = 0$ implica

βI= 0 $\beta_I = 0$ ? ¿O sigue siendo una pregunta abierta?

Alumno

@Vibert Si, por ejemplo, la función beta de masa se desvanece en un valor de masa distinto de cero, ¿no es la teoría ni siquiera invariante de escala clásica? No entiendo por qué dices que no es necesario que la función beta de un acoplamiento dimensional vaya a 0 en 0 acoplamiento.

Vibert

@user6818: no, quiero decir eso

T $T$ como un operador debe desaparecer, por lo que en todas las inserciones posibles.

< T> = 0 $< T > = 0$ ya debido a la invariancia de Poincaré... La razón por la que esto es cierto es que

Tμ ν= dS/ dgramoμ ν $T_{\mu \nu} = \delta S/\delta g^{\mu \nu}$ por definición (hasta una elección de convenciones).

Vibert

@Anirbit: no, eso no es lo que quise decir. En un punto fijo, estos operadores deben ser adimensionales. Pero vuelva a leer la edición que escribí debajo de mi comentario: puede comenzar con un acoplamiento masivo, dejar que evolucione a través del flujo de RG y terminar con un acoplamiento marginal, cuya función beta puede desaparecer. En ese caso, tienes un CFT. De lo contrario, incluso un bosón libre masivo en

RD $R^D$ sería un CFT.

usuario6818

@Vibert No entiendo tu argumento, sí, lo sé

Tμ ν=dSdgramoμ ν $T_{\mu \nu} = \frac{\delta S}{\delta g_{\mu \nu}}$ pero ¿cómo implica esto que como operador cuántico si

Tμ ν= 0 $T_{\mu \nu}=0$ entonces el QFT tiene invariancia conforme? No recuerdo haber visto una prueba de esto en ninguna parte.

Alumno

@Vibert ¿Puede dar una referencia/ejemplo de lo que está diciendo? ¿Estás diciendo que está garantizado que si la función beta de un acoplamiento dimensional se desvanece en un punto, entonces necesariamente la dimensión anómala tiene que ajustarse para que el acoplamiento se vuelva adimensional en ese punto?... eso suena muy poco familiar...

Alumno

@Vibert Para que quede claro, diga que tenía un término

gramoO $gO$ en un lagrangiano en

d $d$ dimensiones espacio-temporales tales que

O $O$ es el operador y

gramo $g$ es su coeficiente. Ahora bien, si existe un

gramo∗ ≠ 0 $g* \neq 0$ calle

β( gramo∗ ) = 0 $\beta(g*)=0$ entonces se garantiza que

[ O ] ( g∗ ) = re $[O](g*) = d$ . ese es uno tendra

[ O ] +γO( re∗ ) = re $[O] + \gamma_O(d*) = d$ ? ¿Está eso garantizado? (..dónde

[ O ] $[O]$ es la dimensión clásica del operador...) Si esto es cierto, entonces significa que es posible que una teoría masiva clásica se convierta en una CFT a través del flujo RG... ¿verdad?

usuario6818

@Vibert ¿Puede dar un ejemplo en el que pueda suceder que un acoplamiento no marginal fluya hacia un punto fijo distinto de cero y la dimensión anómala del operador correspondiente se ajuste para que el acoplamiento se vuelva marginal en ese punto? (... para que el punto fijo del flujo RG se interprete como un punto de invariancia de escala, ¡este ajuste tiene que ocurrir!...)

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