¿Cuál es la diferencia entre la invariancia de escala y la autosimilitud?

Desde el punto de vista de la dinámica no lineal, donde la autosimilitud juega un papel importante, si el atractor es un fractal, diría que la diferencia es entre transformaciones continuas y discretas.

Una transformación autosimilar como la que produce el conjunto de Cantor o el triángulo de Sierpinski procede por etapas discretas. El fractal que es el límite cuando el número de etapas$N$tiende a infinito muestra auto-similitud (es decir, es idéntico a sí mismo) sólo para un número discreto de etapas.

Por ejemplo, cuando se hace zoom en el triángulo de Sierpinski, no se puede hacer zoom en ninguna parte ni por ningún factor de zoom. Uno tiene que hacer zoom solo con un factor$1/3$y centre el zoom en el eje de simetría del triángulo. Entonces, básicamente, el número de objetos autosimilares es un número entero y tiene como característica la dimensión de autosimilitud, que es un número$D$como$N = L^D$dónde$N$es el número de copias producidas cambiando el tamaño por$L$.

En cuanto a la invariancia de escala, que no se usa tanto, es una declaración de que$f(\mu x) = \mu^D \, f(x)$con alguna constante$D$. La propiedad es continua y verdadera para todo$x$. Los atractores fractales generalmente no son exactamente invariantes en escala: a menudo tienen 2 o varias escalas diferentes.

Por lo tanto, desde este punto de vista, la autosimilitud y la invariancia de escala solo pueden ser idénticas en un número discreto de puntos para fractales simples que tienen un factor de escala único. (Soy consciente de que esto no aborda las redes de espín, pero responde la pregunta en el marco de la teoría del caos).

La discusión pág. 24 sobre las renormalizaciones de Rosten no me parece en absoluto relacionado con el tema de la invariancia de escala. En cuanto al de las páginas 8-9, creo que es solo un comentario de pasada sobre las configuraciones típicas de espín en el punto crítico. Permítanme dar definiciones precisas para explicar lo que está pasando en el lenguaje de la teoría de la probabilidad.

Tome, digamos, el modelo Ising del vecino más cercano en dimensión$d\ge 2$. Esta es una colección de medidas de probabilidad.$\mu_{\beta,h}$en el espacio$\Omega=\{-1,1\}^{\mathbb{Z}^d}$que depende de los dos parámetros dados por la temperatura inversa$\beta\in [0,\infty)$y el campo magnetico$h\in\mathbb{R}$. El caso crítico al que se aplica la observación de la "imagen falsa" de Rosten es el caso particular$\beta=\beta_{\rm c}$y$h=0$. La observación pertenece a alguna propiedad geométrica.$P(\sigma)$de una configuración de espín$\sigma=(\sigma_{\mathbf{x}})_{\mathbf{x}\in\mathbb{Z}^{d}}\in\Omega$. Aquí la propiedad$P(\sigma)$es algo así como "la configuración$\sigma$tiene todos estos océanos / islas anidados de giros hacia arriba y hacia abajo ". La creencia que Rosten disputa (siguiendo la Sección 1.4.2 de Delamotte como Kostya señaló correctamente) es:$P(\sigma)$es verdad$\mu_{\beta_{\rm c},0}$-casi seguro. Esto pertenece al capítulo sobre la Ley Fuerte de los Grandes Números en la teoría de la probabilidad.

Ahora la propiedad$P(\sigma)$definitivamente tiene un sabor "auto-similar", pero no lo llamaría en absoluto invariancia de escala. Este último tiene que ver con un capítulo diferente, a saber, el del Teorema del Límite Central .

Déjame trabajar en la región monofásica$\beta\le \beta_{\rm c}$. Entonces el cuadro general es que para cualquier$\beta, h$puedes encontrar una cantidad$[\phi]_{\beta,h}$por lo que ocurre lo siguiente. Elija algún número entero fijo$L>1$. Por cada entero$n\ge0$definir una medida de probabilidad$\nu_{\beta,h,L,n}$sobre el espacio de las distribuciones templadas$S'(\mathbb{R}^d)$como la ley de la distribución aleatoria$\phi_n(x)$dada por

$$\phi_{n}(x)=L^{-n(d-[\phi]_{\beta,h})}\sum_{\mathbf{y}\in\mathbb{Z}^d} (\sigma_{\mathbb{y}}-\langle \sigma_{\mathbb{y}}\rangle)\ \delta^d(x-L^{-n}\mathbf{y})$$ con$\sigma$muestreado según la medida de la red$\mu_{\beta,h}$, y donde la magnetización$\langle \sigma_{\mathbb{y}}\rangle$es la expectativa de un solo giro para esa medida. Entonces el$\phi_n$debe converger en distribución (de probabilidad) a una distribución aleatoria (Schwartz) con ley$\nu_{\beta,h,L,\infty}$. Solo de la existencia y unicidad de este límite, se sigue que la ley del límite o límite de escala$\nu_{\beta,h,L,\infty}$es invariante de escala con respecto al grupo$L^{\mathbb{Z}}$, es decir, reescalado por poderes de$L$(también el tamaño lineal de un bloque en un procedimiento RG de giro de bloque). Esta es una propiedad de invariancia de escala discreta (relacionada con la respuesta de Stan). De hecho, uno espera que esto se cumpla para cualquier$L$y por lo tanto$\nu_{\beta,h,L,\infty}$debe ser invariante por el grupo multiplicativo completo$(0,\infty)$. En otras palabras, debe tener la propiedad de invariancia de escala continua . Por cierto, la diferencia entre las invariancias de escala discretas y continuas se analiza, por ejemplo, en esta revisión de Sornette . En nuestra situación, la invariancia de escala continua significa, en particular, que la función de dos puntos satisface $$\langle\phi(\lambda x)\phi(\lambda y)\rangle=\lambda^{-2[\phi]_{\beta,h}}\langle\phi(x)\phi(y)\rangle$$ para todos$\lambda\in (0,\infty)$.

Ahora la pregunta clave es: cómo elegir la cantidad crucial$[\phi]_{\beta,h}$(la dimensión de escala del campo de espín) necesaria para ver la invariancia de escala?

Para$d=2$, uno tiene$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}=\frac{1}{8}$y el limite$\nu$es no gaussiana: la$m=3$Teoría del campo conforme mínimo unitario.

Para$d\ge 4$, uno tiene$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}=\frac{d-2}{2}$y el límite es el campo gaussiano sin masa.

La situación más interesante es$d=3$donde según las mejores estimaciones actuales$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}\simeq 0.5181489$(ver este artículo ).

Ahora en cualquier dimensión y cuando$(\beta,h)\neq (\beta_{\rm c},0)$uno tiene$[\phi]_{\beta_{\rm c},0}=\frac{d}{2}$. En este caso el límite se denomina ruido blanco gaussiano. La función de dos puntos debe ser homogénea de grado$-d$. Esto podría sugerir que debería ser dado por

$$\langle\phi(x)\phi(y)\rangle\sim \frac{1}{|x-y|^d}$$ pero eso está mal El único elemento rotacionalmente invariante de$S'(\mathbb{R}^d)$(hasta constante multiplicativa) con homogeneidad de grado$-d$es$\delta^d(x)$. Uno está realmente en un régimen de límite central donde uno divide una suma de$N=L^{nd}$variables aleatorias reales por$\sqrt{N}$. Finalmente, si en lugar de la conjetura correcta para$[\phi]_{\beta,h}$uno usa algún número$\alpha>0$y escribe $$\phi_{n}(x)=L^{-n(d-\alpha)}\sum_{\mathbf{y}\in\mathbb{Z}^d} (\sigma_{\mathbb{y}}-\langle \sigma_{\mathbb{y}}\rangle)\ \delta^d(x-L^{-n}\mathbf{y})$$ entonces sucede lo siguiente. Si$\alpha<[\phi]_{\beta,h}$, hay demasiada supresión y el$\phi_n$convergen en distribución al campo (no aleatorio) idénticamente cero. Si$\alpha>[\phi]_{\beta,h}$hay pérdida de estanqueidad, es decir, probabilidad de que la masa se escape al infinito y el límite de la$\phi_n$no existe. Nuevamente, esto es como el teorema del límite central si no se divide por la potencia correcta de$N$, a saber,$\sqrt{N}$.

Por cierto, casi todo lo que dije anteriormente está respaldado por pruebas matemáticas rigurosas. Por ejemplo, el caso$(\beta,h)\neq(\beta_{\rm c},0)$con convergencia a ruido blanco se sigue de un resultado general de Newman para sistemas FKG . Para$d=2$y$(\beta,h)=(\beta_{\rm c},0)$, esto está en el trabajo reciente de Chelkak, Hongler e Izyurov , Dubédat , así como Garban y Newman . Por supuesto, el principal caso abierto es$d=3$y$(\beta,h)=(\beta_{\rm c},0)$, es decir, el infame 3D Ising CFT. Hasta donde yo sé, el mejor resultado riguroso hasta ahora (ver estas conferencias recientes de Duminil-Copin ) es que en$(\beta,h)=(\beta_{\rm c},0)$la función de dos puntos satisface

$$\frac{c_2}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{2}}\le \langle \sigma_{\mathbf{x}}\sigma_{\mathbf{y}}\rangle\le \frac{c_1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}$$ por venir constantes positivas$c_1,c_2$, cuando la conjetura real es más como $$\langle \sigma_{\mathbf{x}}\sigma_{\mathbf{y}}\rangle \sim \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{1.0362978}}\ .$$