¿Qué pasa con los exponentes críticos y el flujo RG en la dimensión crítica superior D=4D=4D=4?

¿Qué sucede en la dimensión crítica?$D=4$es que los exponentes críticos son iguales a sus valores medios de campo, pero uno tiene correcciones logarítmicas que pueden verse como una especie de remanente de valores anómalos cuando se toma el límite$D\rightarrow 4$desde abajo. Tomemos por ejemplo la clase de universalidad correspondiente al modelo de Ising así como la$\phi^4$modelar y considerar el exponente de susceptibilidad$\gamma$. Este último suele definirse por

$$\chi\sim |T-T_{\rm c}|^{-\gamma}\ .$$ Para $D>4$, uno tiene $\gamma=1$que es el valor medio del campo. Para $D<4$, uno tiene $\gamma>1$que por lo tanto es un valor no clásico o anómalo. En $D=4$, lo que pasa es que $$\chi\sim |T-T_{\rm c}|^{-1}\times (\log |T-T_{\rm c}|)^{\frac{1}{3}}\ .$$ Este tipo de corrección logarítmica ha sido entendida utilizando el RG de Wilson, de manera no matemáticamente rigurosa, por Wegner y Riedel en el artículo "Logarithmic Corrections to the Molecular-Field Behavior of Critical and Tricritical Systems" . Sin embargo, este es ahora un resultado matemático riguroso. Ver el trabajo reciente de Bauerschmidt, Brydges y Slade "Scaling Limits and Critical Behavior of the 4-Dimensional$n$-Componente$|\varphi|^{4}$Spin Model" (o aquí para la versión arXiv).

Para hacer la conexión con la respuesta de Marty, debo agregar que cuando uno toma el continuo o el límite de escala, estas correcciones logarítmicas se eliminan y uno termina con el campo gaussiano sin masa. Esto solo se ha probado en un toro de volumen finito (ver el artículo anterior de Bauerschmidt, Brydges y Slade).

En$D=4$no hay interacción CFT en la clase de universalidad de la acción

$$S[M] = \int\!d^4x\, (\partial M)^2 + r M^2 + g M^4$$

o similar si$M$es un$N$-vector. Ese es el objetivo del análisis RG en$D=4$. La teoría libre (gaussiana) es completamente consistente; si intenta encender el$g$-acoplamiento anterior, ves que explota a distancias cortas, por lo que concluyes que solo$g=0$describe un QFT saludable. Esto se conoce como el problema de trivialidad de 4d QFT. (Por supuesto, es muy posible que la acción anterior tenga una terminación UV no trivial, que probablemente parezca un poco más complicada). La historia anterior es consistente con sus expectativas: en$D>4$solo tienes la teoría de Gauss, en$D=4-\epsilon$la fuerza de interacción en el punto fijo es del orden$\epsilon$, y se desvanece como$D \to 4$.