ϕ4ϕ4\phi^4-theory: interpretando el flujo RG

Question

ϕ4ϕ4\phi^4-theory: interpretando el flujo RG

Anne O´Nyme

Me refiero a estas conferencias sobre el Grupo de Renormalización y más precisamente a la figura del flujo RG para el $\phi^4$ -teoría en la página 18.

El lagrangiano en la notación utilizada en el texto es

L = - \frac{1}{2} (\partial_{m} ϕ)^{2} - V (ϕ) con V (ϕ) = \sum_{norte} m^{d - norte (d - 2)} \frac{{gramo}_{2 norte}}{(2 norte)!} ϕ^{2 norte},

$\mathcal L = -\frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - V(\phi)\quad \text{with } \quad V(\phi)=\sum_n \mu^{d-n(d-2)}\frac{g_{2n}}{(2n)!}\phi^{2n}\,,$ dónde

μ

$\mu$ es el corte duro.

Por conveniencia aquí está la figura pertinente para el flujo RG para la dimensión $d=4-\epsilon$ con $\epsilon>0$

Como se explica en el texto:

" F describe una teoría de interacción sin masa que interpola entre una teoría libre en el UV y el modelo de Ising en el IR"

Mi pregunta es muy simple: ¿Cómo la línea F puede representar teorías sin masa como la constante de acoplamiento? $g_2=m$ a lo largo de esa línea es distinto de cero....?

Respuestas (3)

ϕ4ϕ4\phi^4-theory: interpretando el flujo RG

Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

La imagen representa el RG wilsoniano que actúa en el espacio de todas las teorías con un límite UV unitario (p. ej., todas las teorías que puede colocar en la red unitaria). Por supuesto, hay muchos más ejes que no están representados aquí. Este es un sistema dinámico de dimensión infinita, pero la porción importante para el asunto en cuestión es la relacionada con el $\phi^2$ o $g_2$ y el $\phi^4$ o $g_4$ direcciones. Sin embargo, un sistema de coordenadas quizás mejor es el de los poderes de Wick.

: ϕ^{2} := ϕ^{2} - C_{1, \infty} (0, 0),

$:\phi^2:=\phi^2-C_{1,\infty}(0,0)\ ,$

: ϕ^{4} := ϕ^{4} - 6 C_{1, \infty} (0, 0) ϕ^{2} + 3 C_{1, \infty} (0, 0)^{2}

$:\phi^4:=\phi^4-6\ C_{1,\infty}(0,0)\ \phi^2+3\ C_{1,\infty}(0,0)^2$ dónde

C_{1, \infty}

$C_{1,\infty}$ es la covarianza libre con corte unitario en las notaciones de https://mathoverflow.net/questions/62770/what-mathematical-treatment-is-there-on-the-renormalization-group-flow-in-a-spac/63089 #63089

Esto se debe a que las potencias de Wick son los vectores propios del diferencial del mapa RG en el origen, es decir, el punto fijo de Gauss. Por la teoría básica de la bifurcación, cuando enciendes un pequeño $\epsilon>0$ un nuevo punto fijo (Wilson-Fisher) emerge del origen en la dirección del vector propio $:\phi^4:$ . Es un ejemplo de bifurcación transcrítica. Entonces la recta F es tangente en el origen a la $:\phi^4:$ eje. Si realiza el cambio triangular de coordenadas entre las potencias Wick y no Wick, verá que cerca del origen, la ecuación de F es aproximadamente

{gramo}_{2} = - 6 C_{1, \infty} (0, 0) {gramo}_{4}

$g_2=-6\ C_{1,\infty}(0,0)\ g_4$ Por cierto, no incluí factoriales en mi convención para

V

$V$ . La imagen tiene correctamente una pendiente negativa para la línea F.

Edite según la pregunta de Nikita a continuación:

Hay dos nociones diferentes de masa aquí. Existe la masa sentada en el Lagrangiano (MSITL), es decir, $g_2$ o el coeficiente de $\phi^2$ . También existe la masa verdadera (TM), es decir, $m$ definida por el decaimiento de la función de dos puntos. Tenga en cuenta que otro nombre que podría haber usado para $g_2$ es la masa desnuda, pero esto habría creado confusión porque la masa desnuda generalmente es para un corte no unitario y es dimensional, mientras que $g_2$ es adimensional y pertenece a una teoría que vive (a lo largo del flujo wilsoniano RG) en la red unitaria. Apenas $m$ se define por la propiedad de que la función de dos puntos se comporta como $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle\sim e^{-m|x-y|}$ para $x,y$ muy separados en la red unitaria. Es solo en el caso gaussiano trivial / sin interés que $m=g_2$ . En general $m=m(g_2,g_4,\ldots)$ es una función no lineal muy complicada de los acoplamientos presentes en el Lagrangiano. La teoría es sin masa cuando $m=0$ , por lo que no hay razón para que esto se traduzca en $g_2=0$ . De hecho uno necesita $g_2<0$ . Una heurística para esto es que si uno se excede ligeramente hacia valores más negativos de $g_2$ luego uno se mete en lo quebrado $\mathbb{Z}_2$ régimen de simetría. Claramente, esto requiere un potencial de pozo doble que pretenda ser el potencial de un modelo de Ising. Si $g_2\ge 0$ (así como $g_4>0$ , $g_6=g_8=\cdots=0$ ) entonces el potencial tiene un solo pozo con mínimo en $\phi=0$ . Esto no puede darte una magnetización espontánea.

Cómo la línea F puede representar teorías sin masa como la constante de acoplamiento $g_2=m$ a lo largo de esa línea es distinto de cero....? ¿Podrías responder a esta pregunta? Porque desafortunadamente, no entendí por qué la teoría no tiene masa.
¡Gracias! También agregué cálculo directo en primer orden. Tal vez pueda comentar mi cálculo para aclarar la relación con sus argumentos.

mike piedra · Answer 2

La masa en el sistema es la inversa de la longitud de correlación, que es infinita en todas partes a lo largo de la línea marcada por F, ya que esa es la línea de puntos críticos que separan la fase de simetría rota de la ininterrumpida. $<\phi>=0$ fase. El parámetro $g_2$ es simplemente eso --- un parámetro --- y no es la masa. Tienes que resolver la teoría para calcular la masa real a partir de los parámetros básicos. $g_2$ y $g_4$ .

He hecho tal cálculo. ¿Podrías dejar algún comentario/corrección/sugerencia a mi cálculo?

Nikita · Answer 3

He hecho un enfoque más directo a esta tarea en primer orden en $\epsilon$ . Comencemos con el cálculo directo del propagador:

⟨ ϕ (pag) ϕ (- pag) ⟩ = \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} - \frac{4 \cdot 3 \cdot gramo}{({pag}^{2} + {metro}^{2})^{2}} \int^{Λ} \frac{d^{4 - ϵ} k}{(2 π)^{4 - ϵ}} \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2}} + \dots

$\langle \phi(p) \phi(-p) \rangle = \frac{1}{p^2+m^2} - \frac{4 \cdot 3 \cdot g}{(p^2 + m^2)^2} \int^\Lambda \frac{d^{4-\epsilon}k}{(2\pi)^{4-\epsilon}} \frac{1}{k^2+m^2} + \dots$

\int^{Λ} \frac{d^{d} k}{(2 π)^{d}} \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2}} = \frac{V o yo (S^{d - 1})}{(2 π)^{d}} \int_{0}^{Λ} \frac{k^{d - 1} d k}{k^{2} + {metro}^{2}} = \frac{π^{d / 2}}{(2 π)^{d} Γ (d / 2)} \int_{0}^{Λ} \frac{(k^{2})^{d / 2 - 1} d (k^{2})}{k^{2} + {metro}^{2}}

$\int^\Lambda \frac{d^{d}k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2+m^2} = \frac{Vol(S^{d-1})}{(2\pi)^d} \int_0^\Lambda \frac{k^{d-1} dk}{k^2 + m^2} = \frac{ \pi^{d/2}}{(2\pi)^d \Gamma(d/2)} \int_0^\Lambda \frac{(k^2)^{d/2-1} d(k^2)}{k^2 + m^2}$ Usando

g \sim ϵ

$g\sim \epsilon$ , arreglemos

d = 4

$d=4$ :

\int^{Λ} \frac{d^{d} k}{(2 π)^{d}} \frac{1}{k^{2} + {metro}^{2}} = \frac{1}{(4 π)^{2}} (Λ^{2} - {metro}^{2} en \frac{Λ^{2} + {metro}^{2}}{{metro}^{2}})

$\int^\Lambda \frac{d^{d}k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2+m^2} = \frac{1}{(4\pi)^2} \left(\Lambda^2 - m^2\ln \frac{\Lambda^2 + m^2}{m^2}\right)$ Expansión de la función de correlación obtenida:

⟨ ϕ (pag) ϕ (- pag) ⟩ \approx \frac{1}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} [1 - \frac{4 \cdot 3 \cdot gramo Λ^{2}}{{pag}^{2} + {metro}^{2}} \frac{1}{(4 π)^{2}} (1 - \frac{{metro}^{2}}{Λ^{2}} en \frac{Λ^{2}}{{metro}^{2}})] \approx \frac{1}{{pag}^{2}} [1 - \frac{4 \cdot 3 \cdot gramo Λ^{2} / (4 π)^{2} + {metro}^{2}}{{pag}^{2}}]

$\langle \phi(p) \phi(-p) \rangle \approx \frac{1}{p^2+m^2}\left[1 - \frac{4\cdot 3 \cdot g\Lambda^2}{p^2 + m^2} \frac{1}{(4\pi)^2} \left(1 - \frac{m^2}{\Lambda^2}\ln \frac{\Lambda^2}{m^2}\right) \right] \approx \frac{1}{p^2} \left[1 - \frac{4\cdot 3 \cdot g\Lambda^2/ (4\pi)^2 + m^2}{p^2} \right]$ Así que en el punto crítico de WF

m_{⋆}^{2} \approx - \frac{1}{6} Λ^{2} ϵ

$m^2_{\star} \approx -\frac{1}{6} \Lambda^2 \epsilon$ ,

{\tilde{g}}_{⋆} = \frac{2 π^{2}}{9} ϵ

$\tilde{g}_{\star} = \frac{2\pi^2}{9}\epsilon$ tenemos:

⟨ ϕ (pag) ϕ (- pag) ⟩_{⋆} = \frac{1}{{pag}^{2}} + O (ϵ^{2})

$\langle \phi(p) \phi(-p) \rangle_{\star} = \frac{1}{p^2} + O(\epsilon^2)$

Tenemos partículas sin masa en curva (en primer orden en $\epsilon$ ) :

{metro}^{2} = - 3 gramo Λ^{2} / 4 π^{2}

$m^2 = - 3 g\Lambda^2/ 4\pi^2$ Esta línea obviamente conecta el punto fijo gaussiano (

m^{2} = g = 0

$m^2 = g =0$ ) y punto fijo de Wilson-Fisher.

También

\frac{d}{d s} (4 \cdot 3 \cdot gramo Λ^{2} / (4 π)^{2} + {metro}^{2}) = 0

$\frac{d}{ds}\left(4\cdot 3 \cdot g\Lambda^2/ (4\pi)^2 + m^2\right) =0$

en ecuaciones RG en primer orden en $\epsilon$ .

{\begin{cases} \frac{d {metro}^{2}}{d s} = 2 m^{2} + \frac{3}{2 π^{2}} gramo Λ^{2} \\ \frac{d gramo}{d s} = ϵ gramo - \frac{9}{2 π^{2}} {gramo}^{2} \end{cases}

$\begin{cases} \frac{dm^2}{ds} = 2\mu^2 + \frac{3}{2\pi^2} g \Lambda^2\\ \frac{dg}{ds} = \epsilon g - \frac{9}{2\pi^2} g^2 \end{cases}$

Agradeceré mucho si alguien me explica la relación de dicho cálculo con la respuesta de Abdelmalek Abdesselam.

ϕ4ϕ4\phi^4-theory: interpretando el flujo RG

Anne O´Nyme

Respuestas (3)

Abdelmalek Abdesselam

Nikita

Abdelmalek Abdesselam

Nikita

mike piedra

Nikita

Nikita

Cambio de escala de las constantes de acoplamiento hamiltonianas efectivas en el grupo de renormalización de Wilsonain

Exponentes críticos y dimensiones de escala de la teoría RG

Dudas con la renormalización básica

¿Cuáles son los detalles de la renormalización de la teoría de Chern-Simons?

¿Por qué exigimos que los contratérminos en la teoría φ3φ3\varphi^3 sean O(g2)O(g2)O(g^2)?

¿Son las teorías no renormalizables menos predictivas que las teorías renormalizables?

Función ββ\beta en campo escalar masivo libre

Modos rápido y lento, y la desaparición de ciertos diagramas durante la renormalización

Relación entre los esquemas de renormalización on-shell y BPHZ

Comprender las condiciones de renormalización en la teoría ϕ4−ϕ4−\phi^4