¿La función de onda de posición no es normalizable? -Función de onda en el experimento de doble rendija

Question

¿La función de onda de posición no es normalizable? -Función de onda en el experimento de doble rendija

Física
función de onda
espacio de hilbert
normalización
mecánica cuántica
experimento de doble rendija

curiosidad

Estaba leyendo Feynman Lectures Vol. III sobre Mecánica Cuántica y tropecé con una fórmula en el Capítulo 3-1 ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_03.html ) que me parece muy extraña. La fórmula 3.7 dice que "la amplitud para ir de $r1$ a $r2$ " es

\begin{matrix} (3.7) & ⟨ r_{2} | r_{1} ⟩ = \frac{{mi}^{(i pag r_{12} / h)}}{r_{12}} . \end{matrix}

$\langle r_2|r_1\rangle=\frac{e^{(ipr_{12}/h)}}{r_{12}}.\tag{3.7}$

Esta fórmula se invoca para explicar el patrón de interferencia del experimento de la doble rendija y tiene al menos cierto sentido intuitivo para mí, ya que la probabilidad de encontrar un electrón en la pantalla seguramente debe disminuir con la distancia desde el medio (y por lo tanto $r_{12}$ ) aumenta.

Interpreto esto como la función de onda de posición de la partícula, me da la amplitud de encontrar la partícula en cualquier punto $r_2$ .
Si ese es el caso, entonces la función de onda no sería normalizable, ¿cómo puede ser esto?

Además, Feynman afirma que la partícula tiene una energía definida y, dado que es una partícula libre, eso implicaría un momento definido, pero no veo cómo se supone que esta función es una función propia del operador de momento.

Por otro lado, al decir que la partícula comienza en $r_1$ , esto significaría que esta función de onda es el resultado de una medición de posición con el resultado $r_1$ pero esto tampoco puede ser correcto.

También tengo curiosidad sobre cuál sería la amplitud para un momento posterior en el tiempo, supongo que sería algo así como

⟨ r_{2} (t) | r_{1} ⟩ = \frac{{mi}^{(i pag * (r_{2} - (r_{1} + v * t) / h)}}{| r_{2} - (r_{1} + v * t) |}

$\langle r_2(t)|r_1\rangle=\frac{e^{(ip*(r_{2}-(r_1+v*t)/h)}}{|r_{2}-(r_1+v*t)|}$

Lo que posiblemente no sea correcto ya que esto implicaría una especie de trayectoria clásica para la partícula.

Traté de calcular la evolución temporal de esta función de onda con matemáticas mediante la transformación de Fourier en el espacio de impulso, aplicando el operador de Hamilton en la función de onda de impulso y luego transformando Fourier de nuevo en el espacio de posición (sé cómo manejar buenos paquetes de onda antiguos de esta manera) pero para este solo obtuve basura.

¡Parece que hay un gran malentendido de los conceptos básicos de las funciones de onda de posición de la mecánica cuántica aquí y cualquier ayuda es muy apreciada!

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/89958/2451 , physics.stackexchange.com/q/273423/2451 , physics.stackexchange.com/q/339177/2451 y sus enlaces.

curiosidad

¿Alguien sabe cómo derivar la ecuación 3.7? Creo que esto lo aclararía bastante.

Respuestas (1)

¿La función de onda de posición no es normalizable? -Función de onda en el experimento de doble rendija

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¿Alguien sabe cómo derivar la ecuación 3.7? Creo que esto lo aclararía bastante.

JEB · Answer 1

La ecuación (3.7) no es una función de onda, por lo que interpretarla como tal es fuente de confusión. Más bien, es una amplitud de transición, cuyo cuadrado puede interpretarse como una probabilidad (y eso cae como 1/r**2, como era de esperar). El numerador sigue la fase. $\phi = k\cdot r_{12} = p\cdot r_{12} \ /\hbar$ , que es el término que describe la interferencia.

Con respecto a su comentario sobre el principio de incertidumbre: cuando una onda plana pasa a través de una rendija delgada, su incertidumbre de posición horizontal es el ancho de la rendija; esto introduce una incertidumbre de momento transversal inversamente proporcional al tamaño de la rendija: esto es difracción.

Pero, ¿no es la amplitud para una transición desde el punto r1 (supongo que esta es la ubicación de la rendija) a un punto r2 igual al valor de la función de onda de posición de la partícula cuya posición se ha medido antes para estar en r1? ?

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