¿Cómo garantizar soluciones cuadradas integrables a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

RESUMEN DE LA VERSIÓN EDITADA: No puede poner ninguna condición en$V(x)$y$E$que garantizan que las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo son normalizables, por una razón tonta.

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Respuesta inicial parcial: si el potencial está acotado por algún valor$V_\text{min}$, entonces una solución a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con$E \leq V_\text{min}$no puede ser normalizable. Prueba: supongamos$\psi(x)$es una función de onda normalizada que resuelve la ecuación de Schrödinger con valor propio$E$. Entonces

$$E = \langle \psi | H | \psi \rangle = \int \left[ \frac{\hbar^2}{2m} \left| \frac{d\psi}{dx} \right|^2 + V(x) |\psi|^2 \right] dx > \int V(x) |\psi|^2 dx \geq \int V_\text{min} |\psi|^2 dx = V_\text{min}.$$ Tenemos igualdad estricta en el tercer paso porque $\psi$no puede tener derivada cero en todas partes y aún así ser integrable al cuadrado. (Tenga en cuenta que este resultado también es un problema en el texto de Griffiths, con un método de solución sugerido diferente).

EDITAR:

De hecho, creo que es imposible imponer restricciones a$V(x)$y$E$que garantizan una solución normalizable, por la siguiente razón bastante tonta: si vemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo como una EDO, entonces para cualquier valor de$E$hay dos soluciones linealmente independientes para la EDO de segundo orden

$$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} + \left[ V(x) - E \right] \psi = 0.$$ Entonces, incluso si una función integrable al cuadrado $\psi_1(x)$satisface esta ecuación, también habrá otra solución linealmente independiente $\psi_2(x)$eso también satisface la ecuación, y esta segunda solución en general no será integrable al cuadrado (ver más abajo). Por ejemplo, si intenta resolver la EDO anterior para el oscilador armónico con $E = \hbar \omega/2$, obtendrá dos soluciones, una de las cuales tiene el habitual $e^{-x^2/\sigma^2}$comportamiento (y por lo tanto es integrable al cuadrado) y el otro de los cuales va como $e^{x^2/\sigma^2}$asintóticamente y por lo tanto no es integrable al cuadrado.

Tal vez se pregunte si es posible que ambos$\psi_1(x)$y$\psi_2(x)$ambos podrían ser integrables en cuadrado; pero desafortunadamente esto resulta no ser el caso. Para mostrar que esto no puede suceder, podemos usar una lógica como la de la respuesta de Ali Moh. Si el comportamiento asintótico de orden líder de$V(x)$es proporcional a$x^\alpha$, y el potencial$V(x) \to \infty$como$x \to \infty$, entonces podemos escribir la ecuación de Schrödinger asintóticamente (después de un cambio de escala) como

$$-\psi'' + (\beta x^\alpha - e) \psi = 0.$$ dónde $e$es proporcional a la energía y $\beta > 0$. Si $\alpha > 0$, entonces dominará el primer término entre paréntesis, y la ecuación tendrá la solución aproximada (a través de Mathematica) $$\psi(x) = \left\{ \sqrt{x} I_{-1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right), \sqrt{x} I_{1/(2+\alpha)} \left( \frac{2 \sqrt{\beta}}{2 + \alpha} x^{1 + \alpha/2} \right) \right\}.$$ dónde $I_n(x)$es una ecuación de Bessel modificada de primera especie. ahora si tenemos dos soluciones $\psi_1$y $\psi_2$que corresponden al mismo valor de $E$y son integrables al cuadrado, entonces alguna combinación lineal de ellos debería comportarse asintóticamente como cada una de estas dos soluciones; pero ambas soluciones divergen, y $\psi_1$y $\psi_2$ambos tienen que ir a cero asintóticamente para ser integrables al cuadrado. Por lo tanto, una de las soluciones $\psi_1$y $\psi_2$no debe ser integrable en cuadrado. (La misma lógica vale si $\beta < 0$; en su lugar, solo obtenemos funciones ordinarias de Bessel, que aún no son integrables al cuadrado).

Si, por el contrario,$\alpha \leq 0$, luego se acota el potencial arriba y recuperamos el caso discutido por Ali Moh. Una vez más, la solución genérica de la EDO será oscilatoria o exponencial, por lo que, como mucho, una de las soluciones linealmente independientes de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo será normalizable.

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Más allá de esto, no estoy seguro de qué se podría hacer exactamente. Podría preguntar: "¿Podemos poner condiciones a$V(x)$y$E$tal que existe una solución normalizable a la ecuación de Schrödinger ? Pero esto básicamente es preguntar "¿Es$E$en el espectro del hamiltoniano, cuando el hamiltoniano actúa solo en el espacio de funciones de onda normalizables?" En otras palabras, está preguntando por los estados propios y valores propios de energía, que es lo que generalmente buscamos de todos modos. Siempre podría use los resultados del principio variacional para colocar límites en los espectros de potenciales particulares; y existe el conocido resultado de que al menos un estado límite ($E < 0$) existe para cualquier potencial atractivo en 1D (y 2D). Pero soy escéptico de que exista un resultado más general.

Desde$V(x)$está acotado por arriba tenemos tres posibilidades. O oscila en el infinito con un límite superior, o tiene asíntotas a una constante$<E$o diverge a$-\infty$.

Ya que estamos interesados ​​en$x\rightarrow\infty$podemos promediar la oscilación en el primer caso a la media, y si diverge, entonces nos ocupamos de la potencia polinomial superior principal (llamémosla$\alpha$, asumiendo que tiene asíntotas como un polinomio que es bastante general). El resultado es que el comportamiento de la función de onda en el infinito es oscilatorio; trigonométrica para los dos primeros casos, y en el tercer caso como$x^{\frac{1-\alpha/2}{2+\alpha}}J_{\frac{1}{2+\alpha}}\left(\frac{2x^{1+\alpha/2}}{2+\alpha}\right)$que nuevamente asintota a un comportamiento oscilatorio que no decae.

Los tres casos se resumen mediante la ecuación diferencial asintótica (donde$\alpha=0$para los dos primeros casos)

$$x\rightarrow\infty:\qquad \left(\frac{d^2}{dx^2} + \beta x^\alpha \right)\psi(x)=0$$

El punto es que en todos los casos un comportamiento asintótico oscilatorio sin decaimiento de la función de onda necesariamente implica que no es normalizable.