Normalización de la función de onda dada por la forma Aei(kx−wt)Aei(kx−wt)Ae^{i(kx-wt)}

Pregunta 1.

Digamos que la función de onda se da en la forma

Ψ ( X , t ) = A mi i ( k X − w t )

Entonces, debido a la condición de normalización, debería cumplirse lo siguiente.

∫ Ψ ∗ Ψ d X = A 2 ∫ − ∞ ∞ mi − i ( k X − w t ) × mi i ( k X − w t )   d X = 1

Porque mi − i ( k X − w t ) × mi i ( k X − w t ) = mi − i ( k X − w t ) + i ( k X − w t ) = 1 , la condición exige que

A 2 ∫ − ∞ ∞ d X = 1

Como el valor integral diverge a + ∞ , llegamos a la conclusión de que A debe converger a cero.

¿Qué pasa aquí?

Pregunta 2.

Esta es otra pregunta que debe clasificarse y hacerse por separado, pero como es corta, la pondré aquí. Al expresar la función de onda como una combinación lineal de funciones de base, especialmente en casos discretos, ¿es que el índice varía de − ∞ a ∞ ? Eso significa, ¿es eso

Ψ ( X ) = ∑ − ∞ ∞ C i ψ i   ?

Disculpas de antemano si las preguntas son triviales. Soy un recién llegado a la mecánica cuántica.

Respuestas (1)

(1) No hay nada malo allí. Las ondas planas son estados de impulso infinitamente preciso y no pueden normalizarse correctamente en el espacio de posición debido a que tienen una dispersión infinita de la incertidumbre de Heisenberg. En la práctica, todavía ayudan, por ejemplo, en el formalismo de la matriz de dispersión para obtener una amplitud para la reflexión y una amplitud para la transmisión, y para establecer, por ejemplo, la física básica de un anillo de Aharonov-Bohm donde las longitudes reales que nos interesan son finitas.

(2) Siempre puedes y nunca tienes que hacerlo. Hay una biyección entre Z y norte así que como sea que numeres las cosas, depende de ti. Hay una pequeña razón para preferir norte que es que una gran clase de estos estados básicos son funciones propias de un hamiltoniano que está acotado por abajo y, por lo tanto, estos valores propios continúan infinitamente en una dirección pero no en la otra.

¡Gracias por la respuesta! Tengo dos preguntas a raíz de sus respectivas respuestas. Para (1), ¿se convierte eso en un razonamiento para escribir una función de onda en términos de combinación lineal en un espacio de dimensión infinita, es decir ∫   d pag   C ( pag )   Ψ pag ( X ) ? Para (2), ¿es así que la elección de los índices de 1 a ∞ o de − ∞ a ∞ depende de mi preferencia, pero de todos modos, ¿el número de índices debería ser infinito ?
(1) La ecuación de Schrödinger es lineal, es por eso que podría considerar superposiciones de funciones de onda. Pero sí, no hay nada de malo en física con usar una integral para esa superposición; nos gusta asumir que la física es "agradable" y carece de contraejemplos patológicos porque el mundo es ruidoso y esos contraejemplos son adyacentes al ruido de los ejemplos normales. (2) No tiene por qué serlo, un qubit es un espacio bidimensional, por ejemplo, en lugar de norte -dimensional. Podría decirse que cualquier sistema cuántico "es realmente" de dimensión finita, intente poner demasiada energía en una partícula en una caja y se convertirá en un agujero negro.
Normalización de la función de onda dada por la forma Aei(kx−wt)Aei(kx−wt)Ae^{i(kx-wt)}
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