Normalización de funciones de onda multipartícula

No, la condición de normalización es siempre la misma. Tiene que ser así por la forma en que se definen los promedios de observables:

$$\langle A\rangle|_\Psi:=\frac{\langle\Psi|A|\Psi\rangle}{\langle\Psi|\Psi\rangle}.$$ Los estados se toman como normalizados para evitar el denominador. Es solo una elección cómoda, y no hay razón para cambiarla. Cuando te refieres a la función de onda $\Psi(q_1,...q_N)$para un sistema de $N$partículas idénticas (bosones o fermiones), está tomando una función de onda normalizada.

Su confusión en el caso de partículas idénticas puede abordarse con un ejemplo explícito, que se encuentra muy a menudo en aplicaciones prácticas. Supongamos que tenemos$N$funciones de onda$\psi_i$que toman como entrada solo una coordenada (o conjunto de tres coordenadas, en 3D), y queremos describir un conjunto de$N$fermiones asignando a cada uno una función de onda. Tomamos cada función de onda como una función de onda distinta, que representa un estado distinto (este es el caso más general, ya que estamos tratando con fermiones), e imponemos relaciones de ortonormalidad$\langle \psi_i|\psi_j\rangle=\delta_{ij}$.

Después de este preámbulo, queremos construir una función de onda para el$N$fermiones. Comenzamos con una función de onda tentativa como

$$\Psi(q_1,...,q_N)=\psi_1(q_1)...\psi_N(q_N).$$ Esta función de onda tiene norma unitaria, debido a la ortonormalidad de la $\psi_i$, pero no es antisimétrica con respecto al intercambio de coordenadas de fermiones $q_i\leftrightarrow q_j$. Se interpreta como "el primer fermión está en el estado descrito por $\psi_1$, el segundo en el estado descrito por $\psi_2$etcétera", por lo que claramente está haciendo distinciones entre partículas.

Para resolver este problema, antisimetrizamos la función de onda como

$$\Psi(q_1,...,q_N)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{P}(-1)^{P}\psi_{P(1)}(q_1)...\psi_{P(N)}(q_N).$$ Esta notación significa "suma sobre todas las permutaciones $P$de la cuerda $1...N$, dejando las coordenadas fijas y moviendo los índices de la función de onda, e insertando un signo $-$para permutaciones impares" (también puedes hacerlo al revés). Ahora, aquí tienes un $\sqrt{N!}$como el que te está molestando. Esto es exactamente lo que se necesita para normalizar toda la función de onda. ¿Por qué?

Bueno, cuando realizas la integral de$\Psi^*\Psi$, en realidad es una suma de productos de integrales de una sola partícula, de la forma$\int\psi_i^*(q)\psi_j(q)dq$, y la condición de ortonormalidad asegura que, para que la integral sea cero, debe tener las mismas funciones de onda debajo de la integral$(i=j)$. en el módulo de$\Psi$las únicas contribuciones sobrevivientes son entonces las integrales donde una permutación de$(1...N)$en el sostén coincide exactamente con la misma permutación en el ket. Cualquiera de esos términos da$1$, debido a la ortonormalidad. Ahora, ¿cuántas permutaciones de una cadena de$(1...N)$¿Puedes hacer? exactamente el$N!$que se necesita para cancelar el denominador.

Al (anti)simetrizar las funciones de onda de un sistema de partículas idénticas, uno ha restringido los vectores de estado para que vivan en un subespacio del espacio de Hilbert original y, por lo tanto, las relaciones de ortonormalidad y completitud se vuelven diferentes. Su pregunta, de hecho, implica ambas relaciones.

Primero, se recuerda que en QM, si dos vectores de estado son proporcionales entre sí (dos vectores se alinean), se dice que son equivalentes, y solo uno de ellos contribuye en la relación de completitud. En un sistema de muchos cuerpos, si uno "permuta" dos partículas, el nuevo vector de estado es equivalente al original. En consecuencia, uno tiene

$$\sum_{q_1,q_2,\cdots,q_N}\frac{\prod_{q_j}n_{q_j}!}{N!}\left|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle\left\langle q_1,q_2,\cdots,q_N\right| = 1.$$ Aquí,$N$es el número total de partículas y$n_{q_i}$el número de ocupación del estado de una sola partícula$q_i$. Este coeficiente elimina el "sobreconteo" de estados equivalentes: dado que hay$N$partículas, hay$N!$permutaciones de ellos y así uno lo divide por$N!$al sumar. Sin embargo, en el caso del sistema bosónico, si hay$n_{q_i}$partículas que ocupan estado$q_i$entonces uno tiene$n_{q_i}!$mismos estados (en lugar de equivalente), lo que significa que el número de estados equivalentes se reduce a$\dfrac{N!}{n_{q_i}!}$, etc. En caso continuo, por ejemplo$q_i=x_i$, $$\int\frac{dx_1dx_2\cdots dx_N}{N!}\left|x_1,x_2,\cdots,x_N\right\rangle\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N\right| = 1.$$ Aquí$n_{q_i}!=1$desde una posición$x_i$solo puede acomodar 0 o 1 partícula. Combinando esta relación con la relación de normalización se obtiene su fórmula: $$1=\left\langle q_1,q_2,\cdots,q_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \int\frac{dx_1dx_2\cdots dx_N}{N!}|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2.$$ Por eso,$|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2$es la densidad de probabilidad para$N$partículas para estar en estados$q_1$,$q_2$, etc. Por otro lado, el vector de estado de muchos cuerpos se puede escribir en términos de estados de una sola partícula como $$\left|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{N!\prod_in_{q_i}!}}\sum_{\mathcal{P}}\zeta^P\left|q_{P1}\right\rangle\otimes\left|q_{P2}\right\rangle\otimes\cdots\left|q_{PN}\right\rangle .$$ Su representación coordinada es $$\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle = \sqrt{N!}\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N).$$ Darse cuenta de$\left|r_1,r_2,\cdots,r_N\right\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\mathcal{P}}\zeta^P\left|r_{P1}\right\rangle\otimes\left|r_{P2}\right\rangle\otimes\cdots\left|r_{PN}\right\rangle$y$\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)$es la función de onda familiar de muchos cuerpos que se ve en los libros de texto, que se normaliza a 1. En este caso,$|\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)|^2$es la densidad de probabilidad de que la partícula 1 en el estado$q_1$, partícula 2 en el estado$q_2$, etc. Su significado físico es diferente al anterior.

Aplique estas expresiones generales en su ejemplo de dos partículas, lo verá más claramente.

Para una derivación detallada de algunas de estas fórmulas, consulte Mecánica estadística: un conjunto de conferencias - Feynmen (capítulo 6, sección 6.7). Para obtener una breve idea de la diferencia entre$|\Psi_{q_1,q_2\cdots,q_N}(x_1,x_2,\cdots,x_N)|^2$y$|\left\langle x_1,x_2,\cdots,x_N|q_1,q_2,\cdots,q_N\right\rangle|^2$, consulte Principios de la mecánica cuántica - Shankar (Capítulo 10).