Tengo una base infinita que se asocia con cada punto, , sobre el -eje, un vector base tal que la matriz de está lleno de ceros y un uno por el elemento. El libro sobre mecánica cuántica de Shankar dice que el producto interno entre un vector base y él mismo no es uno, ¿por qué no? ¿Por qué estos vectores base no se pueden normalizar a uno, solo a la función delta de Dirac ?
Cualquier buena base debe ser completa. Si el conjunto de todos está completo, cualquier otro vector en el espacio de Hilbert de su sistema debe ser escribible como . Esta suma no tiene sentido para variables continuas. , de ahí la necesidad de redefinir la relación de completitud con una integral (como lo demuestra muy bien la respuesta de Jan). Una vez que emplea integrales para definir una relación de completitud significativa, entonces la relación no es correcto porque da
I) Interpretamos la pregunta de OP (v2) de la siguiente manera:
¿Por qué no normalizar
a través de una función delta de Kronecker continua en lugar de una distribución delta de Dirac
En pocas palabras, la razón es que el rhs. de la ec. (1) es igual a la función cero casi en todas partes wrt. la medida de Lebesgue.
En esta respuesta, nos gustaría generar intuición a través de paquetes de ondas gaussianas para argumentar que deberíamos usar una normalización de distribución delta de Dirac (2) (posiblemente módulo una constante de normalización convencional) en lugar de una normalización continua de función delta de Kronecker (1).
II) Para ser concretos, por simplicidad veamos un ket
como una función de onda de posición en el espacio de Hilbert
donde hemos modificado por una relación de equivalencia " ". Aquí es el conjunto de funciones cuadradas integrables. Dos funciones son equivalentes si y son iguales en casi todas partes (ae) wrt. la medida de Lebesgue. Ver, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Lectura de superposiciones/productos internos
III) Ahora pragmáticamente, a falta de construcciones matemáticas como distribuciones, ¿qué representaría un estado localizado en ? Permitamos que el paquete de ondas se propague una pequeña cantidad , digamos menor que cualquier resolución experimental. Podemos modelar una función de onda de este tipo mediante una función gaussiana de pico extremadamente estrecho
dónde es una potencia fija y es una constante de normalización que se determinará a continuación. La normalización de (6) es
Para evitar que la normalización (7) desaparezca en el límite , debemos exigir que el poder . La normalización de Kronecker (1) [módulo una constante global] corresponde a la potencia .
IV) Más generalmente, si asumimos el ansatz (6), entonces la superposición entre dos kets de este tipo y se lee en un sentido distribucional
En el último paso usamos la representación del núcleo de calor de la distribución de Dirac . La normalización de Dirac (2) [módulo una constante global] corresponde a la potencia . En detalle, si es una función de prueba, entonces la ec. (8) establece que
V) Físicamente, según la regla de Born , la integral (10) de la superposición
se supone que denota la probabilidad tautológica de que una partícula ubicada en la posición pertenece al eje real con probabilidad 100%.
Comparando ecs. (9) y (10), somos naturalmente llevados a elegir el poder , y por lo tanto la normalización de Dirac (2). Tenga en cuenta que el poder significa que el estado de posición no es normalizable y, en particular, no pertenece al espacio de Hilbert, cf. ec. (7).
VI) Una discusión más rigurosa de las ecs. (2) y (10) se pueden dar introduciendo estados propios de cantidad de movimiento. Resulta que en última instancia, la ec. (10) es problemático, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
¿Por qué estos vectores base no pueden normalizarse a uno, solo a la función delta?
Porque eso haría que esos vectores indexados continuamente no fueran adecuados para el papel de una "base continua" para funciones normalizables. Aquí está la explicación. Supongamos alguna función se expresa como la integral
La expresión anterior de se puede describir como "combinación lineal de las funciones base ". Si la función se va a utilizar para calcular la densidad de probabilidad de acuerdo con la regla de Born, tenemos que exigir
Imagine puntos del plano etiquetados por coordenadas cartesianas . Si tuvieramos con delta de Kronecker ordinario, el producto escalar sería distinto de cero solo en la diagonal que tiene área cero, mientras que en toda el área grande donde se desvanecería. La integral en (*) también se desvanecería y no podría ser igual a 1 según sea necesario.
Una forma de hacer que la integral en (*) tenga un valor distinto de cero es postular que para las funciones ortogonales anteriores, debe considerarse como una distribución singular del tipo que introdujo Dirac: traer contribuciones sustanciales de la diagonal solo.
En la práctica elegimos funciones tal que obedezcan
Entonces la integral en (*) es
En el lenguaje de los kets, los kets deben ser tales que satisfagan la relación
porque sólo entonces la relación
La expresion
qmecanico