Función de onda no normalizable

Question

Función de onda no normalizable

usuario119264

¿La solución de la ecuación de Schrödinger siempre tiene que ser normalizable? Por normalizable quiero decir, dada una función de onda $\psi(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X < \infty o \int_{0}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx<\infty \qquad \text{or}\qquad \int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx <\infty$

¿Cuáles serían las implicaciones físicas si una (o ambas) de esas integrales diverge? Desde el punto de vista de que la interpretación de Copenhague es una de las más populares y la función de onda se interpreta como una distribución de probabilidad en este caso; ¿Será válida la función de onda divergente para cualquier otra interpretación de la mecánica cuántica? ¿Alguien sabe alguna función de onda que no sea normalizable? ¿Qué pasaría si hubiera una singularidad en 0 que lo hiciera divergir en todo momento? Por ejemplo

\int_{0}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X \to \infty pero \int_{a}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X < \infty

$\int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx \to\infty\quad \text{but}\quad \int_{a}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx <\infty$

dónde $a>0.$ ¿La segunda integral contaría como un pdf válido ?

resgh

Los estados propios de momento no son normalizables en el espacio de estado de posición.

usuario37343

@namehere, ¿qué significa "los estados propios del impulso no son normalizables"?

Respuestas (3)

Función de onda no normalizable

Los estados propios de momento no son normalizables en el espacio de estado de posición.
@namehere, ¿qué significa "los estados propios del impulso no son normalizables"?

DW · Answer 1

Desde mi conocimiento limitado de este tema, diría que una función de onda no normalizable realmente no tendría ningún sentido físico.

Recuerde, la función de onda es una función cuyo valor al cuadrado evaluado entre dos puntos representa la probabilidad de que la partícula se encuentre entre esos dos puntos. Entonces, la restricción de que las funciones de onda se normalicen es básicamente solo un guiño a la realidad: la partícula debe encontrarse EN ALGÚN LUGAR.

Normalmente, la restricción es:

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} d X = 1,

$\int_{-\infty}^ {\infty} |\psi(x)|^{2} dx = 1,$ es decir, la probabilidad de encontrar la partícula si miras entre

- \infty

$-\infty$ y

\infty

$\infty$ es 1. Tener una probabilidad mayor que uno de encontrar la partícula entre estos límites no tendría ningún sentido físico.

Tener una función de onda descrita por las ecuaciones que publicaste anteriormente implicaría que hay una posibilidad infinita de encontrar la partícula en cualquier lugar .

Creo que tu explicación es sensata. Imponemos la probabilidad máxima para que sea la unidad. Por lo tanto, haga los ajustes que se derivan de allí. Aquí usamos mod-squared según las restricciones de la norma 2. Creo que esta es la esencia.

punk_físico · Answer 2

La función de onda debe ser normalizable o el límite de una secuencia de funciones normalizables que en general se conocen como distribuciones (generalizaciones de funciones). Un ejemplo bien conocido de una distribución es la "función" delta de Dirac, $\delta(x)$ . Si la función de onda espacial es $\psi=\delta(x_0)$ , entonces la función de onda de cantidad de movimiento será de la forma $\psi\propto e^{-ipx_0},$ que no es estrictamente normalizable. El ejemplo opuesto es $\psi(p)=\delta(k)$ que son infinitas ondas planas con funciones de onda espaciales de la forma $\psi\propto e^{ikx}.$

La forma en que tratamos esto matemáticamente es asumir que tales estados son normalizables, es decir

\int | {mi}^{i k X} |^{2} d X = \int d X \equiv 1,

$\int |e^{ikx}|^2dx=\int dx\equiv 1,$ aunque esta integral es divergente. La solución física es el hecho de que las ' ondas planas infinitas ' nunca son físicamente infinitas.

La forma real en que tratamos las ondas planas es mediante la construcción de paquetes de ondas. Básicamente, suponemos ${mi}^{i (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t)}$ $e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}$ son soluciones válidas (para cada $k$ ) y luego continúa diciendo: bueno, entonces la solución general es una combinación lineal de estos. $Ψ \propto \int_{- \infty}^{\infty} d k ϕ (k) {mi}^{i (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t)}$ $\Psi \propto \int_{-\infty}^{\infty}{dk\phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}}$ Si elegimos el $\phi(k)$ Bien, esta función es normalizable. Por supuesto, en realidad, la onda plana es una idealización como la superficie sin fricción, por lo que el comportamiento inusual no es del todo inesperado.

teja4477 · Answer 3

sí, un buen ejemplo será la solución de partículas libres. Donde la solución es como una solución de onda plana, por lo tanto, tales soles no representan estados físicamente aceptados. Esta es la razón por la cual cualquier problema relacionado con partículas libres debe tener una función de onda inicial que pueda normalizarse. de lo contrario no podemos seguir adelante.

Función de onda no normalizable

usuario119264

resgh

usuario37343

Respuestas (3)

DW

usuario37343

punk_físico

Wouter

teja4477

¿Qué significa la notación Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( x)|^2dx?

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