Prueba de que la constante de normalización de la función de onda es independiente del tiempo

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Prueba de que la constante de normalización de la función de onda es independiente del tiempo

iti

Estoy tratando de probar que la constante de normalización es independiente del tiempo. Si lo hemos fijado para un tiempo en particular, permanecerá constante para todo el tiempo.

Suponer $\psi(x,t)$ es una función de onda.
Dejar $A(t)$ Sea la constante de normalización de $\psi(x,t)$
Entonces $\displaystyle A^*A\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=1\tag{1}$
$\displaystyle \implies \frac{d}{dt}A^*A\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=0\tag{2}$
$\displaystyle \implies\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx\frac{d}{dt}A^*A+A^*A\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=0\tag{3}$

Ahora primero analiza, $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,t)|^2dx\tag{4}$
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,t)|^2dx=\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)dx=\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}=\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\tag{5}$
Por ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
$\displaystyle \frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\bar{h}}V\psi\tag{6}$
También, $\displaystyle \frac{\partial\psi^*}{\partial t}=-\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\bar{h}}V\psi^*\tag{7}$

Entonces, $\displaystyle \frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}=\psi^*\Big(\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\bar{h}}V\psi\Big)+\psi\Big(-\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\bar{h}}V\psi^*\Big)\tag{8}$
$\displaystyle \implies\frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}=\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\Big)\tag{9}$
$\displaystyle \implies\frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big]\tag{10}$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big]dx\tag{11}$
$\displaystyle \implies\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big|_{-\infty}^\infty\tag{12}$
Como $\displaystyle \psi(x,t)\to0$ como $x\to\pm\infty$ .
Entonces, $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=0\tag{13}$
Entonces, $(3)$ se convierte
$\displaystyle \implies\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx\frac{d}{dt}A^*A=0\tag{14}$
Como $\psi$ es integrable al cuadrado, entonces $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=c$ dónde $c\in\mathbb R$ y $c\neq 0$
Entonces, $\frac{d}{dt}A^*A=0\tag{15}$
$\implies |A|^2=constant\tag{16}$

Tengo las siguientes dudas de la prueba
(i) De $(11)$ a $(12)$ , en la RHS, hemos utilizado el teorema fundamental del cálculo.
La integración de la derivada es la antiderivada. $\int_a^bf'(x)dx=f(x)$ . Pero aquí la condición es que f tiene que ser continua y diferenciable en $[a,b]$ con $f'$ integrable en $[a,b]$ .
Entonces, en $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big]dx$ , nosotros tomamos $\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)$ a ser continuo. Como $\psi$ y $\psi^*$ es continua, esto quiere decir que $\frac{\partial\psi}{\partial x}$ también es continuo. Pero sabemos en general que la primera derivada de $\psi$ también puede ser discontinuo. Entonces, ¿cómo hemos usado el teorema fundamental del cálculo aquí?

(ii) De $(12)$ a $(13)$ , hemos tomado $\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big|_{-\infty}^\infty=0$ usando el hecho de que $\psi\to 0$ como $x\to\pm\infty$ . Pero esto también significa que $\frac{\partial\psi}{\partial x}\to 0$ como $x\to\pm\infty$ . Pero, ¿cómo podemos estar seguros de que $\frac{\partial\psi}{\partial x}$ ¿está ligado?

(iii) En $(16)$ , obtenemos $|A|^2=constant$ . Pero de esto como obtenemos $A(t)=constant$ .
$|A|^2$ constante significa que la magnitud del vector en el plano complejo es constante, pero puede suceder que el ángulo de $A$ cambios. Este ángulo cambia en función de $t$ . Entonces, ¿cómo concluimos que $A$ es independiente del tiempo?

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ZeroTheHero · Answer 1

Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, entonces parece mucho más simple de usar

| Ψ (t) ⟩ = {mi}^{- i \hat{H} t / ℏ} | Ψ (0) ⟩ .

$\vert\Psi(t)\rangle = e^{-i \hat H t/\hbar}\vert\Psi(0)\rangle\, .$ Entonces es automático que

\begin{aligned} ⟨ Ψ (t) | Ψ (t) ⟩ & = ⟨ Ψ (0) | {mi}^{i \hat{H} t / ℏ} {mi}^{- i \hat{H} t / ℏ} | Ψ (0) ⟩, \\ = ⟨ Ψ (0) | Ψ (0) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \Psi(t)\vert\Psi(t)\rangle &= \langle \Psi(0)\vert e^{i\hat H t/\hbar} e^{-i \hat H t/\hbar}\vert \Psi(0)\rangle\, ,\\ &=\langle \Psi(0)\vert \Psi(0)\rangle \end{align}$ desde

e^{i \hat{H} t / ℏ} e^{- i \hat{H} t / ℏ} = 1

$e^{i\hat H t/\hbar}e^{-i \hat H t/\hbar}=\mathbb{1}$ .

Si el hamiltoniano depende del tiempo, entonces el operador de evolución $U(t)$ se construye para ser unitario, por lo que

\begin{aligned} | Ψ (t) ⟩ & = tu (t) | Ψ (0) ⟩, \\ ⟨ Ψ (0) | {tu}^{†} (t) tu (t) | Ψ (0) ⟩ & = ⟨ Ψ (0) | Ψ (0) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \vert\Psi(t)\rangle &= U(t)\vert\Psi(0)\rangle \, ,\\ \langle \Psi(0)\vert U^\dagger(t)U(t)\vert \Psi(0)\rangle&= \langle \Psi(0)\vert \Psi(0)\rangle \end{align}$ como

U^{†} (t) U = 1

$U^\dagger(t)U=\mathbb{1}$ por construcción.

La versión de la función de onda sigue de la misma manera:

\begin{aligned} Ψ (X, t) & = {mi}^{- i \hat{H} t / ℏ} Ψ (X, 0), \\ Ψ (X, t) & = tu (t) Ψ (X, 0) \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(x,t)&=e^{-i \hat H t/\hbar}\Psi(x,0)\, ,\\ \Psi(x,t)&=U(t)\Psi(x,0) \end{align}$ para los casos independiente del tiempo y dependiente del tiempo, respectivamente.

En mi opinión, al usar una notación de espacio de Hilbert tan abstracta, esta respuesta omite la dificultad central de OP, que es comprender en qué sentido la ingenua ecuación de Schrödinger del espacio de posición satisface estas propiedades del espacio de Hilbert (por ejemplo, la capacidad de usar distribuciones y no solo funciones para $\psi$ , y la propiedad hermítica precisa del operador diferencial $\hat H$ ). No es suficiente decir " $\psi$ es una función" o incluso " $\psi$ es una función integrable al cuadrado". Es por eso que señalé OP al análisis funcional.
@nanoman, pero esta es otra pregunta, ya que no tendría nada que ver con preservar la normalización a lo largo del tiempo, sino con mostrar que $\psi$ es un estado “legal” y puede ser normalizado en cualquier momento.
Pero resulta que preservar la normalización en el espacio de posiciones esencialmente equivale a derivar la propiedad hermitiana del operador diferencial $\hat H$ , por lo que trae a primer plano la cuestión de precisamente qué espacio funcional $\psi$ vive en.

nanohombre · Answer 2

Para hacer esto completamente riguroso, tendrías que profundizar en el análisis funcional . Pero intentaré explicarlo intuitivamente.

(i) Podría decirse que todos los derivados de $\psi$ son continuas en la realidad. Las funciones no suaves son una idealización, pero útil. Se pueden formalizar mediante distribuciones . Incluso cuando $f$ es discontinuo, $f'$ se define como algo que se integra a $f$ . Los resultados son equivalentes a considerar funciones suaves y tomar un límite en el que desarrollan una discontinuidad o torcedura.

(ii) La función de onda debe tener un valor esperado real de energía cinética en términos físicos. El operador de energía cinética es proporcional a $-\partial^2/\partial x^2$ y tiene un valor esperado proporcional a

\int_{- \infty}^{\infty} d X ψ^{*} (- \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}}) = \int_{- \infty}^{\infty} d X {| \frac{\partial ψ}{\partial X} |}^{2} - {ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X} |}_{- \infty}^{\infty} .

$\int_{-\infty}^\infty dx\, \psi^* \left(-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\right) = \int_{-\infty}^\infty dx\, \left|\frac{\partial\psi}{\partial x}\right|^2 - \left.\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x}\right|_{-\infty}^\infty.$ La parte imaginaria de esto es precisamente proporcional a su expresión clave,

(ψ^{*} \partial ψ / \partial x - ψ \partial ψ^{*} / \partial x) |_{- \infty}^{\infty}

$(\psi^*\, \partial\psi/\partial x - \psi\, \partial\psi^*/\partial x)|_{-\infty}^\infty$ , que por lo tanto debe ser cero. (Técnicamente, la función de onda debe definirse en un espacio donde el operador de energía es hermitiano).

(iii) La ecuación de Schrödinger determina completamente la evolución de la función de onda $\psi$ , y lo que has demostrado es que si $\psi$ está inicialmente normalizado ( $|A| = 1$ ) entonces queda normalizado ( $|A|$ restos $1$ ). Al decir que $A$ es la constante de normalización, solo ha definido su magnitud . Así que de hecho la fase de $A$ es arbitrario, pero no es parte de la función de onda . Dado que $|A| = 1$ , simplemente puede escribir la condición de normalización como $\int_{-\infty}^\infty dx\, |\psi|^2 = 1$ . Por último, $A$ es un parámetro redundante, no físico.

Yejus · Answer 3

Con respecto a (i), todavía no estoy seguro de lo que está preguntando. En general, $d\psi/dx$ es continua en un intervalo si el potencial $V(x)$ es finito dentro de ese intervalo. En los límites, si el potencial $V(x) \to \pm \infty$ , entonces $d\psi/dx$ ya no es continuo . Por tanto, la continuidad de la primera derivada de la función de onda depende del comportamiento del potencial.

(Véase, por ejemplo, Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths , Capítulo 2, Sección 2.5.2 El pozo de función delta).

Con respecto a (ii), para un sistema físico, las funciones de onda "decaen" a cero a medida que uno se acerca $\pm \infty$ en el eje de posición real; de lo contrario, el sistema no es físico. Esto significa que la función de onda finalmente se vuelve plana, lo que implica que su primera derivada es cero.

Con respecto a (iii), tiene razón en que $A$ podría tener alguna dependencia "angular". Esto se llama dependencia de fase y es mayormente intrascendente en Mecánica Cuántica. Siempre puede aislar la fase de la siguiente manera: $A(t) = |A| \, e^{i\, \phi(t)}$ . Después de eso, una vez que evalúes $|A|^2 = A(t)^* A(t)$ , el factor de fase se reduce a la unidad.

He entendido tu punto. pero tengo una pregunta que no $d\psi/dx$ tiene que ser acotado en general también? ¿Puedes aclararme también mi duda i)?
Si $F$ es una función continua función sobre $(a,b)$ y diferenciable sobre $[a,b]$ y derivado de $F$ es integrable en ese intervalo, entonces por el teorema fundamental del cálculo $\int\frac{dF}{dx}dx=F+c$ . Entonces, por analogía con RHS de la ecuación $(11)$ , $\frac{d\psi}{dx}$ tiene que ser continuo. Pero si el potencial es función delta de dirac entonces $\frac{d\psi}{dx}$ tiene un salto en ese punto, lo que significa que no es continuo. Entonces, en general, ¿cómo podemos usar el teorema fundamental del cálculo en $(11)$ ?
"la función de onda finalmente se vuelve plana, lo que implica que su primera derivada es cero"; esto no es estrictamente suficiente, porque $\psi$ posiblemente podría aproximarse a cero con oscilaciones que decaen en amplitud pero se vuelven más y más rápidas a medida que $x \to \pm\infty$ , entonces $\partial\psi/\partial x$ no llegaría a cero.

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