La existencia de conjuntos compactos conectados "arbitrariamente grandes" en el plano

los conjuntos$F_n$son compactos, pero no necesitan estar conectados. Considere una región$\Omega$que consiste en el semiplano inferior, un disco con radio$\frac12$y centro$k+i$para todos$k \in \mathbb{Z}$, y para cada$k\in\mathbb{Z}$un corredor con ancho$2^{-(4+\lvert k\rvert)}$conectando el semiplano con el disco. Entonces los pasillos son demasiado angostos, por lo que tienes islas de$F_n$en los discos para lo suficientemente grande$\lvert k\rvert < n$que no están conectados al cuerpo principal en el semiplano inferior.

Sin embargo, la afirmación es cierta (y de ahí se sigue que$E$está contenido en un componente conexo de$F_n$para todos lo suficientemente grande$n$).

Primero, tenemos$\delta := \operatorname{dist}(E,\,\partial \Omega) > 0$desde$E$es compacto De este modo$E_1 := \{ z : \operatorname{dist}(z,\,E) \leqslant \delta/2\}$es un subconjunto compacto de$\Omega$. Ahora,$E_1$es una unión de discos (cerrados) de radio$\delta/2$, por lo tanto, solo puede tener un número finito de componentes conectados.$\Omega$es abierto y conexo, por lo tanto, conexo por caminos. Ahora puede conectar todos los componentes conectados finitamente muchos de$E_1$con caminos en$\Omega$.