Definición de la suma de caminos γ1:[a1,b1]→Ωγ1:[a1,b1]→Ω\gamma_1:[a_1,b_1]\rightarrow \Omega y γ2:[a2,b2]→Ωγ2:[a2,b2 ]→Ω\gamma_2:[a_2,b_2]\rightarrow\Omega

A través de nuestras notas de clase y cuadro de texto en análisis complejo, la suma de caminos está dada por

caminos dados γ 1 : [ a 1 , b 1 ] → Ω y γ 2 : [ a 2 , b 2 ] → Ω tal que γ 1 ( b 1 ) = γ 2 ( a 2 ) definimos el camino γ 1 + γ 2 : [ a 1 , b 1 , + b 2 − a 2 ] → Ω por

( γ 1 + γ 2 ) ( t ) = { γ 1 ( t ) si t ∈ [ a 1 , b 1 ] γ 2 ( t − b 1 + a 2 ) si t ∈ [ b 1 , b 1 + b 2 − a 2 ]

¿Cuál es la razón para esto? ¿Por qué no simplemente definir las sumas de la ruta? γ 1 + γ 2 : [ a 1 , b 2 ] → Ω por

( γ 1 + γ 2 ) ( t ) = { γ 1 ( t ) si t ∈ [ a 1 , b 1 ] γ 2 ( t ) si t ∈ [ a 2 , b 2 ]

@coffeemath, ¿podría explicar más por favor?
¿Cómo funcionaría tu definición si a 1 = a 2 y b 1 = b 2 ?
@MichaelBurr Veo su punto (correcto) y eliminaré mi comentario.
@MichaelBurr, si estamos tratando de conectar el dominio, ¿por qué no elegir el segundo intervalo como [ b 1 , b 2 ] en lugar de [ b 1 , b 1 + b 2 − a 2 ]
@gbd Como explicó Michael, mi comentario es incorrecto. Pero mire el comentario de Michael, ya que creo que explica por qué se hace así.
Tenga en cuenta que si el segundo intervalo es [ b 1 , b 2 ] , entonces a 2 = b 1 y la fórmula dada se simplifica a [ a 1 , b 2 ] , que es lo que creo que quieres de todos modos.
¿Has probado algunos ejemplos de intervalos para ver qué está pasando aquí? La fórmula parece desordenada, pero es realmente sencilla. Lo que sucede es que el segundo intervalo se está moviendo al final del primero.

Respuestas (2)

La solución sugerida tiene dos problemas:

  1. Si [ a 1 , b 1 ] y [ a 2 , b 2 ] son disjuntos, entonces la función resultante tiene un dominio desconectado. Esto no sería una ruta ya que el dominio de una ruta debe estar conectado (un intervalo).

  2. Si [ a 1 , b 1 ] y [ a 2 , b 2 ] superposición, entonces la definición no está bien definida porque no está claro si ( γ 1 + γ 2 ) ( t ) sería γ 1 ( t ) o γ 2 ( t ) .

Si bien la fórmula original parece complicada, está realizando una operación geométrica muy simple. se esta moviendo el intervalo [ a 2 , b 2 ] para que comience en b 1 y luego pegarlos juntos. Veamos por qué:

  • El largo de [ a 1 , b 1 ] es b 1 − a 1 , y, de manera similar, la longitud de [ a 2 , b 2 ] es b 2 − a 2 . Por otro lado, la longitud del intervalo dado para la suma es ( b 1 + b 2 − a 2 ) − a 1 = ( b 1 − a 1 ) + ( b 2 − a 2 ) . En otras palabras, la longitud del intervalo dado es la suma de los intervalos originales.

  • Lo que hace la fórmula por partes es viajar a lo largo γ 1 para [ a 1 , b 1 ] y luego viajar a lo largo γ 2 por el resto del tiempo. Lo que parece complicado aquí es que el intervalo [ a 2 , b 2 ] ha sido desplazado para que venga justo después b 1 , añadiendo b 1 − a 2 al intervalo para obtener [ a 2 + ( b 1 − a 2 ) , b 2 + ( b 1 − a 2 ) ] = [ b 1 , b 1 + b 2 − a 2 ] .

Lo que en realidad es más común, es tomar "caminos" en Ω como funciones continuas F : [ 0 , 1 ] → Ω , para que todos los caminos comiencen desde F ( 0 ) y "viajar" a F ( 1 ) en una cantidad fija de "tiempo" 1 . Entonces el "producto" (o composición) de dos caminos F , gramo : [ 0 , 1 ] → Ω se define de otra manera:

F ∗ gramo ( t ) = { F ( 2 t ) 0 ≤ t ≤ 1 2 gramo ( 2 t − 1 ) 1 2 ≤ t ≤ 1

(Por lo general, no se llama "suma" porque eso sugiere conmutatividad, pero aquí el orden es importante).

F ∗ gramo : [ 0 , 1 ] → Ω es entonces lo mismo geométricamente que su definición: siga el camino F primero (En el doble de la velocidad, para encajar en [ 0 , 1 ] ) y luego seguir el camino gramo (ídem), que debe comenzar en el punto final de F por razones de continuidad.

En algunos casos, puede ser útil permitir intervalos cerrados arbitrarios [ a , b ] como el dominio, pero en realidad no importa porque siempre podemos repararmetrizar la misma función para tener dominio [ 0 , 1 ] en cambio. Y para propósitos como definir un grupo de homotopía de clases de equivalencia (homotopía de módulo) para bucles (caminos con fin = comienzo), es útil tener un dominio común de este tipo, consulte mi nota sobre la definición de este llamado primer grupo de homotopía, por ejemplo En su caso, necesitamos algunas otras reparametrizaciones pero que preserven la "longitud" del dominio, que es quizás más con miras a la integración sobre tales caminos.

Pero geométricamente es todo lo mismo. Primero un camino y luego el otro.

Definición de la suma de caminos γ1:[a1,b1]→Ωγ1:[a1,b1]→Ω\gamma_1:[a_1,b_1]\rightarrow \Omega y γ2:[a2,b2]→Ωγ2:[a2,b2 ]→Ω\gamma_2:[a_2,b_2]\rightarrow\Omega
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