Una función continua en S1S1S^1-círculo unitario.

S 1 = { z ∈ C : | z | = 1 }
Sea el círculo unitario. Entonces cual de las siguientes es falsa ?

Cualquier función continua de S 1 a R es

A. delimitado

B. uniformemente continuo.

C. tiene una imagen que contiene un subconjunto abierto no vacío de R .

d tiene razon z ∈ S 1 tal que F ( z ) = F ( − z )

Desde S 1 es compacta cualquier función continua sería acotada o uniformemente continua por lo que A y B son correctos

Para C , la función constante no tiene ningún intervalo abierto en su imagen. De este modo, C es la declaración falsa .

Eso deja D ser correcto. ¿Cómo puedo probar la existencia de un punto? z teniendo propiedades como se dice en D ?

Piensa en el teorema del valor intermedio.
Puede encontrar resultados relacionados con el teorema de Borsuk-Ulam: en.wikipedia.org/wiki/Borsuk%E2%80%93Ulam_theorem

Respuestas (3)

Demuestras D por el teorema del valor intermedio, usado en la función

gramo ( z ) = F ( z ) − F ( − z )
elige un z 0 ∈ S 1 y evaluar gramo allá. Si lo consigues 0 , entonces ya está. Si no entonces gramo ( z 0 ) = − gramo ( − z 0 ) , entonces gramo cambia de signo. Eso significa que debe haber un cero en alguna parte, y que en alguna parte es el z estas buscando.

S 1 es compacto, por lo tanto, cada función continua en él es acotada y uniformemente continua . Ciertamente, la imagen de una función constante consta de un solo punto. En cuanto al último, ¿has oído hablar del teorema del valor intermedio?

D es verdad. Prueba:

Definir la función gramo : S 1 → R ∣ gramo ( X ) = F ( X ) − F ( − X ) . Tenga en cuenta que gramo ( S 1 ) ⊂ R es convexo, entonces ∀ X ∈ S 1 , ( 1 2 gramo ( X ) + 1 2 gramo ( − X ) ) ∈ gramo ( S 1 ) . Ahora ( 1 2 gramo ( X ) + 1 2 gramo ( − X ) ) = 0 ∈ S 1 , entonces existe y ∈ S 1 ∣ gramo ( y ) = 0 .

Una función continua en S1S1S^1-círculo unitario.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v