Existencia de curvas cerradas alrededor de componentes acotados

Estoy atascado en parte de una prueba de análisis compleja que creo que necesita más justificación que la dada. Es bastante puramente una declaración topológica, pero puede ser que las técnicas analíticas complejas sean útiles. Básicamente, la declaración se reduce a esto:

Dejar$U \subset \mathbb{C}$estar abierto y conectado, y dejar$K \subset \mathbb{C} \setminus U$ser un componente acotado del complemento. Entonces existe una curva en$U$delimitando$K$.

¿Hay alguna manera de probar esta afirmación sin el lema Jordan-Schoenflies, es decir, de una manera más elemental? He intentado muchas cosas al azar, pero nada parece funcionar. En particular, si hay una manera de probarlo con el principio del argumento, sería ideal, pero no necesario.

Agradezco cualquier ayuda en absoluto.

EDITAR: Así que realmente creo que esta es una pregunta que vale la pena, así que puse la lamentable recompensa que podía pagar jaja.

Las cosas de las que hay que preocuparse son cosas como el complemento de un conjunto de Cantor y otros componentes de menor dimensión del complemento.

Entonces consideramos el conjunto

$U_1 = \lbrace z$ $|$ $\exists \text{ (simple) closed curve } \gamma \subset U \text{with } z \text{ in a bounded component of } \mathbb{C} \setminus \gamma \rbrace$

Entonces$U_1$es abierta, ya que podemos escribirla como la unión de los interiores (abiertos) de las componentes acotadas de todas las curvas en$U$, decir

$U_1 = \cup_{\gamma_{\alpha} \in \Gamma} (\cup_1^{n_{\alpha}} C_{\alpha, k})$para$\Gamma$el conjunto de todas las curvas cerradas en$U$.

ahora cada uno$\bar{C_{\alpha, k}}$se cruza$\gamma_{\alpha} \subset U$de modo que$\bar{C_{\alpha, k}} \cap U \neq \varnothing$, y escribiendo$U_1$como una unión de todos esos conjuntos, cada uno de los cuales tiene (conectados)$U$en común, obtenemos que$U_1$está conectado. Ya que está abierto y$\mathbb{C}$está localmente conectado por ruta,$U_1$está conectado por caminos.

Ahora, podemos iterar esta construcción, entonces; si$\Gamma_k$es la colección de todas las curvas cerradas en$U_k$, escribir

$U_{k+1} = \lbrace z$ $|$ $\exists \text{ (simple) closed curve } \gamma \in \Gamma_k \subset U_k \text{with } z \text{ in a bounded component of } \mathbb{C} \setminus \gamma \rbrace$

Entonces deja$V = \cup U_k$. Entonces cualquier curva cerrada en$V$es compacto, y dado que cada$U_k$está abierto, por lo tanto, está contenido en un número finito de tales. Pero esta es una secuencia anidada, por lo que se encuentra completamente dentro de algunos$U_n$. Pero todos los puntos en las componentes acotadas de la curva están en$U_{n+1} \subset V$de modo que la curva es homóloga a cero en$V$.

Por un teorema,$V$está así simplemente conectado. Así que el quid es mostrar que, de hecho,$V = U_1$.

Pero ahí es donde me quedo atascado. También podemos usar el hecho de que un conjunto es simplemente conexo si y sólo si y solo si el complemento en la esfera es el componente (conexo) de infinito. Mostrar que contiene este conjunto es la dirección difícil; que contiene el complemento de la componente infinita$V$es trivial

Una prueba no debe usar ningún teorema con el nombre "Jordan" ni la palabra "homotopía". Estas pruebas son obvias. Diría que desde la teoría de la dimensión, el Teorema de Painleve está bien para usar, pero de lo contrario para evitar la dimensión. También lo consideraría una solución para mostrar que la declaración implica el teorema de Jordan-Schoenflies para la dimensión 2 o el teorema del anillo para la dimensión 2. Y si alguien tiene suficiente reputación, ¿podría agregar la teoría del continuo a la lista de etiquetas?