Separar dos componentes conexas de un conjunto cerrado en un plano

La afirmación que está tratando de probar es falsa. A continuación se muestra un ejemplo en el caso en que ambos$K$y$L$son ilimitados. [Lo que escribí inicialmente fue un intento de simplificar mi ejemplo y lo simplifiqué tanto que$X$se conectó.]

La idea es que si$X$es un espacio topológico metrizable entonces el espacio$Q$de componentes conectados de$X$equipado con la topología del cociente, no necesita ser Hausdorff. En particular, dos elementos$q_1, q_2\in Q$puede no estar separado por una partición de$Q$en dos subconjuntos abiertos.

Ahora, el ejemplo. Dejar$K$y$L$ser, respectivamente, las líneas verticales$x=1, x=+1$en el plano xy. Dejar$G_n$ser una secuencia de "curvas en forma de U" disjuntas por pares en la tira$-1<x<1$, tal que cada$G_n$es homeomorfo a${\mathbb R}$y es igual a la unión de los dos rayos verticales$x=\pm(1 -\frac{1}{n}), y\ge -n$y el intervalo horizontal

$$-1+\frac{1}{n}\le x\le 1 -\frac{1}{n}, y=-n.$$ (Podría hacer un dibujo si y cuando tenga tiempo).

Dejar

$$X:= K\cup L \cup \bigcup_{n\in {\mathbb N}} G_n.$$ Este espacio está claramente desconectado. Además, $K, L, G_n (n\in {\mathbb N})$son sus componentes conectados. Por otro lado, supongamos que $X=Y\sqcup Z$es una partición de $X$en dos subconjuntos cerrados que contienen $K$y $L$respectivamente. Si $Y$contiene infinitas de las curvas $G_n$entonces su cierre contiene ambos $K$y $L$, lo cual es imposible. Similarmente, $Z$no puede contener un número infinito de curvas $G_n$. Por eso, $Y\cup Z$no puede igualar todo $X$.

Puedes ver que el espacio$Q$de componentes conectados de$X$consta de dos puntos$[K], [L]$y una secuencia$[G_n]$que converge a ambos$[K]$y$[L]$, haciendo$Q$no Hausdorff.

Editar. Ahora, su pregunta modificada, tiene respuesta positiva.

Necesitaré la noción de cuasicomponente de un espacio topológico. Recuerde que un subconjunto de un espacio topológico se llama cerrado si es a la vez cerrado y abierto. El cuasicomponente $X_x$de un punto$x$en un espacio topológico$X$es la intersección de todos los subconjuntos abiertos que contienen$x$. De manera equivalente, los cuasicomponentes de$X$son las clases de equivalencia de la relación de equivalencia$\sim$en$X$, dónde$x\sim y$si y solo si no hay partición de$X$dos subconjuntos abiertos, uno que contiene$x$y el otro contiene$y$.

El componente$C_x$de$x$en$X$siempre está contenido en el cuasicomponente$X_x$, pero los cuasicomponentes son, en general, estrictamente más grandes que los componentes. Sin embargo, si$X$es compacto y Hausdorff, entonces cuasicomponentes en$X$son iguales a los componentes, ver por ejemplo aquí .

Proposición. Suponer que$X$es un espacio topológico de Hausdorff compacto. Entonces, para cualesquiera dos cuasicomponentes distintos$A, A'$de$X$existen subconjuntos cerrados$U, U'\subset X$tal que

$$A\subset U, A'\subset U', X=U\sqcup U'.$$

Prueba. Por la definición de un cuasicomponente, para dos puntos cualesquiera$a\in A, a'\in A'$existe un par de subconjuntos abiertos disjuntos$U, U'\subset X$tal que$a\in U, a'\in U'$y$X=U\cup U'$. Por conectividad de$A, A'$, resulta que$A\subset U, A'\subset U'$. Claramente, ambos$U, U'$claramente también están cerrados. qed

Volviendo a su pregunta original, donde$K$es un componente conexo compacto de un subconjunto cerrado$X\subset R^n$y$L$es otro componente de$X$. Si$X$es compacto, simplemente use el teorema anterior. Suponer que$X$es no compacto.

Lema. $K$es un cuasicomponente de$X$.

Prueba. Dejar$B$ser una bola redonda cerrada lo suficientemente grande en$R^n$cuyo interior contiene$K$. Entonces$K$es un componente de$X_B:=B\cap X$, por lo tanto, un cuasicomponente de$X_B$. Por eso,$K$es la intersección de todos sus barrios abiertos en$X_B$. Por compacidad de$K$, uno de estos barrios cerrados$U$estará contenido en el interior de$B$. Por eso,$U$también está abierto en$X$. Por lo tanto, todos los barrios cerrados de$K$en$X_B$que están contenidos en$U$también están abiertos en$X$. Por eso,$K$es igual a la intersección de sus vecindades abiertas en$X$. qed

Lema. Dejar$X$ser un subconjunto cerrado de$R^n$, dejar$K, L$ser distintos componentes conectados de$X$, dónde$K$es compacto Entonces existe un par de subconjuntos abiertos$U, V\subset X$tal que

$$K\subset U, L\subset V, X= U\sqcup V.$$

Prueba. Acabamos de demostrar que$K$es un cuasicomponente de$X$. Desde$L$está conectado y es distinto de$K$, y$K$es la intersección de sus barrios cerrados, uno de los barrios cerrados (digamos,$U$) de$K$en$X$será disjunto de$L$. Así, por$V:= X- U$, obtenemos:

$$K\subset U, L\subset V, X= U\sqcup V$$ y $U, V$esta cerrado. qed