La relación u(z2)u(z1)u(z2)u(z1)\frac{u(z_2)}{u(z_1)} para funciones armónicas positivas está uniformemente acotada en conjuntos compactos

Quiero probar lo siguiente:

Si$E$es un conjunto compacto en una región$\Omega \subset \mathbb C$, probar que existe una constante$M$, dependiendo solo de$E$y$\Omega$, tal que toda función armónica positiva$u(z)$en$\Omega$satisface$u(z_2) \leq M u(z_1)$por dos puntos cualesquiera$z_1, z_2 \in E$.

Esto aparece como un ejercicio en el texto de Análisis Complejo de Ahlfors, con respecto a la desigualdad de Harnack:

Si$u$es positivo y armónico en el disco cerrado$\overline{\Delta}(z_0,R)$entonces

Mi intento:

Dejar$u:\Omega \to (0,\infty)$Sea alguna función armónica, y sea$E \Subset \Omega$Sea un subconjunto compacto.$\Omega$puede ser cubierto por$\left\{\Delta \left(z ,\frac{1}{2}R_z \right) \right\}_{z \in \Omega}$donde los radios$R_z>0$se eligen de tal manera que los discos cerrados$\overline{\Delta}(z,R_z)$permanecer en$\Omega$.

Desde$E$es compacto admite una subcubierta finita$\left\{ \Delta \left(z_n,\frac{1}{2} R_n \right) \right\}_{n=1}^N$.

Considere un disco$\Delta(z_n,\frac{1}{2} R_n)$de la cubierta, la desigualdad de Harnack implica que para cualquier$z$en ese disco

Esto muestra que$\frac{u(z_2)}{u(z_1)}$está acotado superiormente por 9, donde$z_1,z_2$se encuentran en el mismo disco de la cubierta.

Mi dificultad es extender esta idea al caso donde$z_1,z_2 \in E$yacen en diferentes discos .

¿Me podría ayudar? (Pensé en dar pasos intermedios$z_1 \to z_{i_1} \to \dots \to z_2$tal que cada punto adyacente se encuentra en el mismo disco, pero si$E$no está conectado esto claramente falla).

¡Gracias!