¿Qué se entiende por "vecindario"?

Question

¿Qué se entiende por "vecindario"?

Matemáticas
análisis complejo
topología general

gibson naegle

Estaba leyendo sobre polos de funciones complejas en Wikipedia y dice "Una función $f$ de una variable compleja z es meromórfica en la vecindad de un punto $z_0$ si alguno $f$ o su función recíproca $1/f$ es holomorfa en alguna vecindad de $z_0$ ." Las clases de matemáticas más altas que he tomado son álgebra abstracta y ecuaciones diferenciales ordinarias, así que imagino que este es un término bien entendido en matemáticas superiores que aún no he alcanzado. Tuve un profesor que usó mucho el término cuando hablaba de geometría diferencial y también lo he visto con frecuencia cuando leo sobre espacios topológicos; pero, los artículos generalmente saltan el término con la expectativa de que el lector entienda.

¿Qué se entiende rigurosamente por vecindad, especialmente en un análisis complejo o real (principalmente entiendo la idea en el contexto de la topología)? ¿Alguien podría señalarme recursos que podrían arrojar algo de luz sobre su definición en diferentes contextos?

PD: Realmente no estaba seguro de qué etiquetas poner y cómo hacer esta pregunta de manera concisa; si alguien tiene sugerencias para ediciones, estaría feliz de arreglarlo.

romano s

Vecindad de un punto

x

$x$ es un conjunto abierto que contiene

x

$x$ . En el caso del plano complejo, por ejemplo, bolas (arbitrariamente pequeñas) centradas en

x

$x$ son barrios de

x

$x$ .

gibson naegle

¿Hay alguna condición que deba cumplirse en esta bola arbitrariamente pequeña centrada en

x

$x$ ? Por ejemplo, con "arbitrariamente pequeño" ¿solo quiere decir que podemos elegir un

ϵ > 0

$\epsilon > 0$ tal que los límites son todos

ϵ

$\epsilon$ lejos de

x

$x$ y los límites todavía están en el plano complejo?

Marcas.

El artículo de Wikipedia para "vecindario" en matemáticas es preciso y completo de las dos definiciones que he visto.

romano s

@GibsonNaegle Cualquier bola abierta centrada en

x

$x$ (no importa cuán grande) es un vecindario de

x

$x$ , Solo estaba enfatizando que puedes hacer que esta pelota sea tan pequeña como quieras y aun así cumplirá con la definición de un vecindario.

usuario2661923

De acuerdo con los comentarios anteriores, la idea es que si existe un vecindario alrededor

z_{0} \in C

$z_0 \in \Bbb{C}$ tal que una propiedad

P (z)

$P(z)$ se mantiene, entonces existe alguna

r > 0

$r > 0$ tal que para todos

z

$z$ tal que

| z - z_{0} | < r

$|z - z_0| < r$ , la propiedad

P (z)

$P(z)$ sostiene

eric wofsey

Los significados en análisis real o complejo son solo casos especiales del significado en topología, usando la topología habitual en

R

$\mathbb{R}$ o

C

$\mathbb{C}$ .

Respuestas (1)

¿Qué se entiende por "vecindario"?

Vecindad de un punto $x$ es un conjunto abierto que contiene $x$ . En el caso del plano complejo, por ejemplo, bolas (arbitrariamente pequeñas) centradas en $x$ son barrios de $x$ .
¿Hay alguna condición que deba cumplirse en esta bola arbitrariamente pequeña centrada en $x$ ? Por ejemplo, con "arbitrariamente pequeño" ¿solo quiere decir que podemos elegir un $\epsilon > 0$ tal que los límites son todos $\epsilon$ lejos de $x$ y los límites todavía están en el plano complejo?
El artículo de Wikipedia para "vecindario" en matemáticas es preciso y completo de las dos definiciones que he visto.
@GibsonNaegle Cualquier bola abierta centrada en $x$ (no importa cuán grande) es un vecindario de $x$ , Solo estaba enfatizando que puedes hacer que esta pelota sea tan pequeña como quieras y aun así cumplirá con la definición de un vecindario.
De acuerdo con los comentarios anteriores, la idea es que si existe un vecindario alrededor $z_0 \in \Bbb{C}$ tal que una propiedad $P(z)$ se mantiene, entonces existe alguna $r > 0$ tal que para todos $z$ tal que $|z - z_0| < r$ , la propiedad $P(z)$ sostiene
Los significados en análisis real o complejo son solo casos especiales del significado en topología, usando la topología habitual en $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ .

Marcas. · Answer 1

En el contexto más general, " vecindad " se define en el campo de la topología , donde tenemos un espacio , y generalmente designamos ciertos subconjuntos como " abiertos ". Citando Wikipedia:

Si $X$ es un espacio topológico y $p$ es un punto en $X$ , un barrio de $p$ es un subconjunto $V$ de $X$ que incluye un conjunto abierto $U$ que contiene $p$ , $p\in U\subseteq V$ . … Se sabe que algunos autores requieren que los vecindarios estén abiertos, por lo que es importante tener en cuenta las convenciones.

En el caso especial de un espacio métrico , donde la topología proviene de una función de distancia de valor real (por ejemplo, $d(z,w)=|z-w|$ en el plano complejo), se sigue que (citando de nuevo a Wikipedia):

un conjunto $V$ es una vecindad de un punto $p$ si existe una bola abierta con centro $p$ y radio $r>0$ , tal que $B_r(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$ está contenido en $V$ .

Para ser explícito, esto significa que, a menos que se utilice una topología no estándar, la vecindad de un punto $z_0\in\mathbb C$ es cualquier conjunto $V\subseteq \mathbb C$ que contiene un disco de la forma $\{z:|z-z_0|<r\}$ para algún radio positivo $r$ (posiblemente muy pequeño). Como se ilustra en Wikipedia , un rectángulo cerrado no es una vecindad de sus esquinas o puntos de borde; pero es una vecindad de sus otros puntos (suponiendo área positiva). Tenga en cuenta que "Propiedad $P$ se sostiene en algún barrio de $z_0$ ." es lógicamente equivalente a "Propiedad $P$ sostiene sobre un disco (de radio positivo) centrado en $z_0$ .".

Aparte, podemos usar vecindarios en lugar de conjuntos abiertos para definir un espacio topológico, como se menciona en la definición a través de la sección de vecindarios en Wikipedia.

¿Qué se entiende por "vecindario"?

gibson naegle

romano s

gibson naegle

Marcas.

romano s

usuario2661923

eric wofsey

Respuestas (1)

Marcas.

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