¿Quién tiene razón con respecto a esta prueba de una propiedad del límite de una unión?

Question

¿Quién tiene razón con respecto a esta prueba de una propiedad del límite de una unión?

Matemáticas
análisis complejo
topología general
teoría elemental de conjuntos

MinecraftJugador69

La cuestión es demostrar

\partial (A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B .

$\partial(A\cup B)\subseteq\partial A\cup \partial B.$

Mi prueba es, deja $z$ estar en $\partial (A \cup B)$ . Entonces para cualquier $\epsilon > 0$ , la definición de límite dice $D_\epsilon (z)\cap (A \cup B) \neq \emptyset$ y $D_\epsilon (z)\cap (A \cup B)^c \neq \emptyset$ .

Esto implica dos afirmaciones,

$\;\;D_\epsilon (z)\cap A \neq \emptyset$ o $D_\epsilon (z)\cap B \neq \emptyset$
$\;\;D_\epsilon (z)\cap A^c \neq \emptyset$ y $D_\epsilon (z)\cap B^c \neq \emptyset$

lo que implica $z \in \partial A$ o $z\in \partial B$ , nuevamente a partir de la definición de límite.

Mi profesor marcó mi prueba como incorrecta diciendo:

\forall ϵ > 0 (X o r y)

$\forall \epsilon >0 (x\:or\:y)$ No implica

(\forall ϵ > 0 X) o r (\forall ϵ > 0 y)

$(\forall \epsilon >0\:x)\: or \: (\forall \epsilon >0\:y)$ Estoy de acuerdo con esta declaración, pero no entiendo cómo se aplica a mi prueba.

usuario562983

Para todos

ϵ

$\epsilon$ ,

D_{ϵ} (x) \cap A \neq \emptyset

$D_\epsilon(x)\cap A\ne\emptyset$ o

D_{ϵ} (x) \cap B \neq \emptyset

$D_\epsilon(x)\cap B\ne\emptyset$ . Por el teorema falso que tu profesor dijo que has usado: para todos

ϵ

$\epsilon$ ,

D_{ϵ} (x) \cap A \neq \emptyset

$D_\epsilon(x)\cap A\ne\emptyset$ , o para todos

ϵ

$\epsilon$ ,

D_{ϵ} (x) \cap B \neq \emptyset

$D_\epsilon(x)\cap B\ne\emptyset$ . Agregue (2) dos a esta conclusión y obtendrá su declaración final.

C al cuadrado

@HennoBrandsma ¿tiene un contraejemplo en mente? Me gustaría desafiar esto

C al cuadrado

límite de

A \cup B = R

$A \cup B =\mathbb{R}$ esta vacio. esto no es un contraejemplo.

Respuestas (2)

¿Quién tiene razón con respecto a esta prueba de una propiedad del límite de una unión?

Para todos $\epsilon$ , $D_\epsilon(x)\cap A\ne\emptyset$ o $D_\epsilon(x)\cap B\ne\emptyset$ . Por el teorema falso que tu profesor dijo que has usado: para todos $\epsilon$ , $D_\epsilon(x)\cap A\ne\emptyset$ , o para todos $\epsilon$ , $D_\epsilon(x)\cap B\ne\emptyset$ . Agregue (2) dos a esta conclusión y obtendrá su declaración final.
@HennoBrandsma ¿tiene un contraejemplo en mente? Me gustaría desafiar esto
límite de $A \cup B =\mathbb{R}$ esta vacio. esto no es un contraejemplo.

Vicente · Answer 1

Esto es bastante bueno.

Supongamos que tenemos dos valores de $\epsilon$ , llamémoslos $\epsilon_1$ y $\epsilon_2$ . Para ahorrar algo de tiempo voy a escribir $D_1$ en lugar de $D_{\epsilon_1}$ y de manera similar para $D_2$ .

Ahora, según su prueba, tenemos que al menos una de las dos declaraciones siguientes se cumple:

a) $D_1(z) \cap A \neq \emptyset$ y $D_1(z) \cap A^c \neq \emptyset$

b) $D_1(z) \cap B \neq \emptyset$ y $D_1(z) \cap B^c \neq \emptyset$

También según su prueba, al menos una de las siguientes dos afirmaciones se cumple:

C) $D_2(z) \cap A \neq \emptyset$ y $D_2(z) \cap A^c \neq \emptyset$

d) $D_2(z) \cap B \neq \emptyset$ y $D_2(z) \cap B^c \neq \emptyset$

Ahora, un oráculo que todo lo sabe está visitando la ciudad ese día, así que aprovecha la oportunidad para preguntar cuál es. El oráculo te dice:

'a) y d) son verdaderos y b) y c) son falsos para estos valores particulares de $A, B$ y $z$ .'

Bien, hasta ahora todo bien. Todo esto es perfectamente consistente con su demostración. Pero ahora resulta que tu profesor escuchó la conversación y dice:

'¡Ajá! Tú afirmaste que $z$ estaba en el limite de $A$ y me inclinaba a creerte, ¡pero ahora parece que me mentiste! $z$ no está en el límite de $A$ ¡porque el oráculo simplemente me dice que la declaración c) es falsa! Entonces hay al menos uno $\epsilon$ (a saber $\epsilon_2$ ) para lo cual no tenemos eso $D_\epsilon(z)$ se cruza con ambos $A$ y $A^c$ .'

'Espera un momento, espera un momento', respondes. 'Nunca dije eso $z$ estaba en el limite de $A$ , solo que estaba en el límite de $A$ O en el límite de $B$ .' 'Está bien', responde tu profesor. 'Así que estás de acuerdo en que está en el límite de $B$ ¿entonces? Esto parece un poco extraño dada la falsedad de la afirmación b... ¿Desde cuándo $\epsilon_1$ no pertenecer a "todos $\epsilon$ "?'

Espero que esta versión ligeramente dramatizada de su conversación muestre lo que el profesor estaba tratando de transmitir.

Diría que su prueba no es incorrecta per se, pero está incompleta. Debe haber un argumento adicional de que la situación anterior (con $a$ y $d$ cierto, pero $b$ y $c$ falso) no puede ocurrir en la realidad.

DanielWainfleet · Answer 2

Mi prueba: En cualquier espacio topológico tenemos $\overline {A\cup B}=\overline A\cup \overline B$ . Y tenemos $\partial D=\overline D \cap \overline {D^c}.$ Y también tenemos

\bar{(A \cup B)^{C}} \subset \bar{A^{C}} \cap \bar{B^{C}}

$\overline {(A\cup B)^c}\subset \overline {A^c}\cap\overline {B^c}$ porque

\bar{(A \cup B)^{C}} = \bar{A^{C} \cap B^{C}} \subset \bar{A^{C}}

$\overline {(A\cup B)^c}=\overline {A^c\cap B^c}\subset \overline {A^c}$ y

\bar{(A \cup B)^{C}} = \bar{A^{C} \cap B^{C}} \subset \bar{B^{C}} .

$\overline {(A\cup B)^c}=\overline {A^c\cap B^c}\subset \overline {B^c}.$ Por lo tanto

\partial (A \cup B) = (\bar{A \cup B}) \cap \bar{(A \cup B)^{C}} \subset

$\partial (A\cup B)=(\overline {A\cup B})\cap \overline {(A\cup B)^c}\subset$

\subset (\bar{A \cup B}) \cap \bar{A^{C}} \cap \bar{B^{C}} =

$\subset (\overline {A\cup B}) \cap \overline {A^c}\cap\overline {B^c}=$

= (\bar{A} \cup \bar{B}) \cap \bar{A^{C}} \cap \bar{B^{C}} =

$=(\overline A \cup \overline B)\cap \overline {A^c}\cap\overline {B^c}=$

= (\bar{A} \cap \bar{A^{C}} \cap \bar{B^{C}}) \cup (\bar{B} \cap \bar{A^{C}} \cap \bar{B^{C}}) \subset

$=(\overline A \cap \overline {A^c}\cap\overline {B^c})\cup (\overline B\cap \overline {A^c}\cap\overline {B^c})\subset$

\subset (\bar{A} \cap \bar{A^{C}}) \cup (\bar{B} \cap \bar{B^{C}}) =

$\subset (\overline A \cap \overline {A^c} )\cup (\overline B \cap \overline {B^c})=$

= (\partial A) \cup (\partial B) .

$=(\partial A)\cup (\partial B).$

¿Quién tiene razón con respecto a esta prueba de una propiedad del límite de una unión?

MinecraftJugador69

usuario562983

C al cuadrado

C al cuadrado

Respuestas (2)

Vicente

DanielWainfleet

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