Aclaración elemental sobre mapas complejos de raíces cuadradas.

Question

Aclaración elemental sobre mapas complejos de raíces cuadradas.

Matemáticas
números complejos
análisis complejo
topología general

minato

Dejar $p:\mathbb{C}-\{0\}\to \mathbb{C}-\{0\}$ ser $z\to z^2$ , Que es $a+ib\mapsto (a^2-b^2)+i(2ab)$ . Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que $p$ es sobreyectiva, y si $w$ es una raíz cuadrada de $z$ , también $-w$ es. Así para cada $z\ne 0$ tenemos dos raíces cuadradas distintas de $z$ .

Quiero probar que el mapa $p$ es un mapa de cobertura.

Ahora, no estoy familiarizado con el análisis complejo, pero he leído algo aquí en MSE y en Wikipedia.

si dejamos $z\in \mathbb{C}-\{0\}$ , entonces podemos representar $z$ en coordenadas polares de manera única como $z=[r,\theta]$ con $r>0$ y $\theta\in [0,2\pi)$ y por fórmula de Moivre tengo que $w_1=[\sqrt{r},\theta/2]$ y $w_2=[\sqrt{r},\theta/2+\pi]$ son las dos raíces cuadradas de $z$ .

Ahora, para definir una función, tengo que elegir a quién quiero como raíz cuadrada de $z$ .

Entonces, digamos que mi mapa de raíz cuadrada es $\mathbb{C}-\{0\}\to \mathbb{C}-\{0\},\quad[r,\theta] \mapsto [\sqrt{r},\theta/2]$ , por lo que estoy tomando la raíz que se encuentra en la mitad superior del espacio.

El problema ahora es que quiero un mapa continuo . Entonces este mapa no es bueno ya que los puntos de la forma $[r,\theta], [r,2\pi-\theta]$ están cerca uno del otro cuando $\theta$ va a $0^+$ , pero sus imágenes no lo son. Pero si restrinjo mi mapa a $\mathbb{C}-([0,+\infty)\times \{0\})$ , entonces debería ser continuo.

Pero ahora, ¿cómo puedo probar formalmente que el mapa es verdaderamente continuo? Por definición, la topología en $\mathbb{C}$ es el que viene con el set-identificación con $\mathbb{R}^2$ , por lo que por definición un mapa $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es continua si y solo si es continua como un mapa $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ .

por ejemplo el mapa $p:\mathbb{C}-\{0\}\to \mathbb{C}-\{0\}$ , $z\to z^2$ es continuo porque como un mapa $p:\mathbb{R}^2-\{0\}\to \mathbb{R}^2-\{0\}$ , $(a,b)\to (a^2-b^2,2ab)$ es continuo

Así que para mostrar que $q:\mathbb{C}-([0,+\infty)\times \{0\})\to \mathbb{C}, \quad [r,\theta]\mapsto [\sqrt{r},\theta/2]$ debo escribirlo como un mapa de un determinado subconjunto de $\mathbb{R}^2$ a un cierto subconjunto de $\mathbb{R}^2$ y luego controlar que es continuo? (Como se hizo para $p$ , por lo que esto incluye adaptar la fórmula definitoria de $q$ a "coordenadas cartesianas")

EDITAR

Entonces, ¿cómo puedo probar que $p$ es un mapa de cobertura con una estrategia como esta: elegir $z\in \mathbb{C}-\{0\}$ , dejar $U$ ser un determinado conjunto. Observa eso $U$ es barrio abierto de $z$ y está conectado. Ahora observa que $p^{-1}(U)$ tiene los siguientes componentes, cada uno de los cuales se asigna homeomórficamente a $U$ por $p$

sangre de pulga

La cuestión se vuelve discutible si consideramos

[0, 2 π)

$[0,2\pi)$ como

R / 2 π R

$\mathbb R/2\pi \mathbb R$ , es decir como

[0, 2 π)

$[0,2\pi)$ siendo una partición de clases de equivalencias de

R

$\mathbb R$ donde tenemos la relación de equivalencia

y \equiv x ⟺ \exist k \in Z | y - x = 2 k π

$y\equiv x \iff \exist k \in \mathbb Z|y-x=2k\pi$ .

sangre de pulga

o para decirlo de otra manera... considere

[0, 2 π)

$[0,2\pi)$ como un espacio métrico con

d (x, y) = min (| x - y |, | x - y + 2 π |, | x - y - 2 π |

$d(x,y) = \min (|x-y|, |x-y + 2\pi|, |x-y - 2\pi|$ . Básicamente, esto crea un nuevo espacio métrico y

d (e, 2 π - d) = | e + d |

$d(e, 2\pi -d) = |e+d|$ que esencialmente afirma que

2 π = 0

$2\pi = 0$ .

Respuestas (2)

Aclaración elemental sobre mapas complejos de raíces cuadradas.

La cuestión se vuelve discutible si consideramos $[0,2\pi)$ como $\mathbb R/2\pi \mathbb R$ , es decir como $[0,2\pi)$ siendo una partición de clases de equivalencias de $\mathbb R$ donde tenemos la relación de equivalencia $y\equiv x \iff \exist k \in \mathbb Z|y-x=2k\pi$ .
o para decirlo de otra manera... considere $[0,2\pi)$ como un espacio métrico con $d(x,y) = \min (|x-y|, |x-y + 2\pi|, |x-y - 2\pi|$ . Básicamente, esto crea un nuevo espacio métrico y $d(e, 2\pi -d) = |e+d|$ que esencialmente afirma que $2\pi = 0$ .

Pablo escarcha · Answer 1

Para $M \subset \mathbb{C}$ definir $-M = \{ -z \mid z \in M \}$ . Es fácil comprobar que $p^{-1}(p(M)) = M \cup -M$ .

Probemos que $p$ es un mapa abierto. Suponga que existe un espacio abierto $U \subset \mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ tal que $p(U)$ no está abierto Esto significa que existe una secuencia $(z_n )$ en $\mathbb{C}^* \setminus p(U)$ convergiendo a algunos $z \in p(U)$ . Dejar $(w_n)$ ser una secuencia en $\mathbb{C}^*$ tal que $w_n^2 = z_n$ . Desde $(z_n)$ está delimitado, también $(w_n)$ debe estar acotado y, por lo tanto, tiene una subsecuencia que converge a algún $w \in \mathbb{C}$ . Wlog podemos suponer que $w_n \to w$ . Esta espectáculos $p(w) = \lim p(w_n) = \lim z_n = z \in p(U)$ . Por eso $w \in p^{-1}(p(U)) = U \cup -U$ , es decir $w \in U$ o $-w \in U$ . Desde $-w_n \to -w$ , una de las secuencias $(w_n)$ y $(-w_n)$ converge en un punto de $U$ . Por eso $w_n \in U$ o $-w_n \in U$ para $n \ge n_0$ , por lo tanto $z_n = p(\pm w_n) \in p(U)$ para $n \ge n_0$ . Esto contradice el hecho de que todos $z_n \notin p(U)$ .

Ahora mostramos que cada $z \in \mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ tiene un barrio abierto $U$ que está cubierto uniformemente por $p$ .

Consideremos primero $z = -1$ . $U = \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ es un barrio abierto de $-1$ en $\mathbb{C}^*$ . Tenemos $p^{-1}(U) = \mathbb{C} \setminus p^{-1}([0,\infty)) = \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ . Dejar $V_+$ y $V_-$ denote los semiplanos abiertos $\text{Im}(z) > 0$ y $\text{Im}(z) < 0$ , respectivamente. Están disjuntos y su unión es $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ . Obviamente $p$ mapas ambos $V_\pm$ biyectivamente sobre $U$ . Desde $p$ es un mapa abierto, vemos que $U$ está cubierto uniformemente con sábanas $V_\pm$ .

Para $z \in \mathbb{C}^*$ definir $h_z : \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}^*, h_z (\zeta) = -z \zeta$ . Este es un homeomorfismo con inversa $h_{1/z}$ . Tenemos $h_z(-1) = z$ . Si $w$ es una raíz cuadrada de $-z$ , obtenemos $p(h_w(\zeta)) = w^2 \zeta^2 = -z \zeta^2 = h_z(p(\zeta))$ , es decir $p \circ h_w = h_z \circ p$ .

Ahora considere un arbitrario $z \in \mathbb{C}^*$ . Dejar $w$ ser una raíz cuadrada de $-z$ . $U' = h_z(U)$ es un barrio abierto de $z$ y los conjuntos $V'_\pm = h_w(V_\pm)$ son abiertos y disjuntos. Tenemos $p(V'_\pm) = p(h_w(V_\pm)) = h_z(p(V_\pm)) = h_z(U) = U'$ . Dejar $p(z_1) = p(z_2)$ con $z_1, z_2$ ya sea en $V'_+$ o en $V'_-$ . Dejar $\zeta_i = h_w^{-1}(z_i) \in V_\pm$ . Desde $1/w$ es una raíz cuadrada de $-(1/z)$ , obtenemos $p(\zeta_i) = p(h_w^{-1}(z_i)) = p(h_{1/w}(z_i)) = h_{1/z}(p(z_i))$ , por eso $p(\zeta_1) = p(\zeta_2)$ y concluimos $\zeta_1 = \zeta_2$ y por lo tanto $z_1 = z_2$ . Esto muestra que $p$ es inyectable en $V'_\pm$ . Por lo tanto $p$ mapas $V'_\pm$ homeomórficamente sobre $U'$ . Queda por demostrar que $p^{-1}(U') = V'_+ \cup V'_-$ . Dejar $\zeta \in p^{-1}(U')$ , es decir $p(\zeta) \in U' = h_z(U)$ . De este modo $\zeta^2 = -z \zeta' = w^2 \zeta'$ Con algo $\zeta' \in U$ . Concluimos $p(-\zeta/w) = (-\zeta/w)^2 \in U$ , por eso $-\zeta/w \in V_\pm$ . Esto significa $\zeta = h_w(-\zeta/w) \in h_w(V_\pm) = V'_\pm$ .

Observación:

Esta prueba es completamente elemental. No utiliza ningún teorema de análisis complejo. Los únicos ingredientes son la continuidad de la multiplicación compleja y el hecho de que cada número complejo tiene una raíz (que se puede calcular de forma explícita, consulte ¿ Cómo obtengo la raíz cuadrada de un número complejo? ).

Vuestras respuestas siempre satisfacen plenamente mi exigencia de rigor y elegancia en el sentido de que cuando las miro me parecen tan "naturales". ¡He aprendido mucho de ti en mis últimas tres preguntas! Muchas gracias :)

lee mosher · Answer 2

Lo que pregunta en el último cuadro es correcto, pero es necesario decir exactamente qué subconjuntos, y deben ser subconjuntos abiertos.

Por ejemplo, puede restringir el dominio de $p$ al subconjunto abierto

C_{X +} = {z = X + i y ∣ X > 0}

$\mathbb C_{x+} = \{z=x+iy \mid x > 0\}$ y puede restringir el rango de

p

$p$ al subconjunto abierto

C - ((- \infty, 0] \times {0})

$\mathbb C - ((-\infty,0] \times \{0\})$ y el resultado es un mapa

{pag}_{X +} : C_{X +} \to C - ((- \infty, 0] \times {0})

$p_{x+} : \mathbb C_{x+} \to\mathbb C - ((-\infty,0] \times \{0\})$ que, por supuesto, viene dada por la fórmula

p_{x +} (z) = z^{2}

$p_{x+}(z)=z^2$ . Esta función es una biyección continua con una inversa continua, es decir, es un homeomorfismo.

Si escribe cuidadosamente algunas restricciones más, obtendrá todas las piezas que necesita para probar que $p$ es un mapa de cobertura.

Pero debo convertir la "fórmula" de $p^{-1}$ en "coordenadas cartesianas" (como se hizo para $p$ en el post) para concluir la continuidad? ¿O hay "otras caracterizaciones" que puedo usar? Debido a que escribir el mapa de la raíz cuadrada en coordenadas cartesianas es feo, pensé que debería haber una forma más elegante de ver el asunto.
En otros términos, ¿cuál es la forma más rigurosa (y posiblemente elegante) de demostrar que $p$ es un mapa de cobertura? (Suponiendo que por el momento lo único que me es evidente es la continuidad y sobreyectividad de $p$ y el hecho de que sus fibras tienen 2 elementos)
Por ejemplo, esto debería ser de la forma: pick $z\in \mathbb{C}-\{0\}$ , dejar $U$ ser un determinado conjunto. Observa eso $U$ es barrio abierto de $z$ y está conectado. Ahora observa que $p^{-1}(U)$ tiene los siguientes componentes, cada uno de los cuales se mapea homeomórficamente en $U$ por $p$ .
Es bastante sencillo escribir la fórmula de la inversa, usando lo que sabes de la geometría analítica; uno puede decidir por sí mismo qué fórmula es la más elegante. Pero el inverso ciertamente tendrá diferentes fórmulas dependiendo del dominio y la restricción de rango.
Lo sabes $p : S^1 \to S^1, p(z) = z^2$ es un mapa de cobertura? En caso afirmativo, le daré una prueba muy simple de que también su mapa es uno.
@PaulFrost Desafortunadamente no. De hecho mi idea era probar que $p:\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$ es un mapa de cobertura probando primero que $p:\mathbb{C}-\{0\}\to \mathbb{C}-\{0\}$ es un mapa de cobertura y luego aplicamos el siguiente Lema: Si $p:E\to X$ es un mapa de cobertura, y $Y$ es un subconjunto conectado y localmente conectado por caminos de $X$ , entonces $p:p^{-1}(Y)\to Y$ es un mapa de cobertura.
@PaulFrost Pero no es un problema tomar el camino inverso, si cree que es más conveniente, es decir, si cree que es más simple probar primero que $p:\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$ es un mapa de cobertura y luego, usando esto, probar que $p:\mathbb{C}-\{0\}\to \mathbb{C}-\{0\}$ es un mapa de cobertura

Aclaración elemental sobre mapas complejos de raíces cuadradas.

minato

sangre de pulga

sangre de pulga

Respuestas (2)

Pablo escarcha

minato

lee mosher

minato

minato

minato

lee mosher

Pablo escarcha

minato

minato

Es el conjunto S={(z1,z2)∈C×C:z21+z22=1}.S={(z1,z2)∈C×C:z12+z22=1}.S=\left\{\ izquierda(z_1,z_2\derecha)\en \mathbb C\times \mathbb C:z_1^2+z_2^2=1\derecha\}. ¿compacto?

¿Existe una forma natural de demostrar que las identidades trigonométricas también son válidas para los números complejos?

Separar dos componentes conexas de un conjunto cerrado en un plano

Aplicaciones geométricas de números complejos

Demostrar desigualdades básicas de números complejos

Encontrar la función univalente con f(z1)=z2f(z1)=z2f(z_1)=z_2

¿Todas las curvas homólogas a cero implican que el espacio está simplemente conectado? [duplicar]

|z1−z2|≤|1−z1z2¯¯¯¯¯||z1−z2|≤|1−z1z2¯||z_1-z_2|\le|1-z_1\overline{z_2}|?

Cada línea o círculo en CC\mathbb{C} son conjuntos de soluciones para la ecuación...

Uso del teorema fundamental del álgebra para encontrar z0z0z_0 tal que |p(z0)|<|p(0)||p(z0)|<|p(0)||p(z_0)| < |p(0)|