Es el conjunto S={(z1,z2)∈C×C:z21+z22=1}.S={(z1,z2)∈C×C:z12+z22=1}.S=\left\{\ izquierda(z_1,z_2\derecha)\en \mathbb C\times \mathbb C:z_1^2+z_2^2=1\derecha\}. ¿compacto?

Question

Vacío

Considere el conjunto

S = {(z_{1}, z_{2}) \in C \times C : z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 1} .

$S=\left\{\left(z_1,z_2\right)\in \mathbb C\times \mathbb C:z_1^2+z_2^2=1\right\}.$

¿Este conjunto es compacto en $\mathbb C^2$ ?

Como $\mathbb C^2$ es un espacio de dimensión finita, por lo que un subconjunto de él es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Pero $z_1^2+z_2^2=1$ da $(x_1^2+x_2^2)-(y_1^2+y_2^2)=1$ y $x_1y_1+x_2y_2=0$ , dónde $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$ .

Pero a partir de aquí, ¿cómo puedo demostrar que el conjunto es cerrado y acotado?

Pista: no puedes mostrar que está acotado. Razones por las que: ver las sugerencias de otras personas.

Pista: no puedes mostrar que está acotado. Razones por las que: ver las sugerencias de otras personas.

shalop · Answer 1

Pista: considera todos los pares de la forma $(n, i\sqrt{n^2-1})$ , con $n \in \mathbb{N}$ .

El conjunto de tales pares está contenido en el conjunto dado.

Pero, ¿este conjunto está acotado?

travis willse · Answer 2

Sugerencia: Considere la curva $z: \mathbb{R} \to S$ definido por $z(t) := (\cosh t, i \sinh t)$ .

Claramente, el mapa es continuo... pero $\mathbb R$ no es compacto
La imagen de la curva está contenida en $S$ pero no está acotado (como, por ejemplo, la función componente $t \mapsto \cosh t$ es ilimitado), por lo tanto $S$ es ilimitado.

mike f · Answer 3

Pista: si $w$ es cualquier numero complejo con parte real $1/2$ , entonces $w + \overline w = 1$ .