Integral de trayectoria para campo escalar complejo

Question

Integral de trayectoria para campo escalar complejo

Física
teoría de campo
integral de trayectoria
números complejos
Grassmann-números
teoría cuántica de campos

Marcosko

Estoy tomando un curso de QFT que se enfoca en la formulación de integrales de ruta. En un momento me confundí porque vimos que, al integrar sobre campos complejos de Grassmann para fermiones, definimos el conjugado complejo como

\begin{matrix} (1) & (θ η)^{*} = η^{*} θ^{*} \end{matrix}

$(\theta\eta)^* = \eta^*\theta^*\tag{1}$ y luego dijo que podíamos tratar

θ

$\theta$ y

θ^{*}

$\theta^*$ como variables independientes, por lo que integramos sobre ambas variables. Cuando le pregunté al disertante al respecto, dijo que se debía a que la conjugación compleja no está definida de manera única para las variables de Grassmann, lo que significa que en realidad no se puede obtener

θ^{*}

$\theta^*$ de

θ

$\theta$ , por lo que tienes que integrar sobre ambos. Sin embargo, consideremos que estamos calculando integrales de trayectoria para un campo escalar complejo

ϕ

$\phi$ . ¿Nos integraríamos solo sobre

ϕ

$\phi$ o ambos

ϕ

$\phi$ y

ϕ^{*}

$\phi^*$ ? De alguna manera he visto ambas opciones en diferentes referencias (por ejemplo, Peskin y Schroeder integran solo sobre

ϕ

$\phi$ en el apartado 9.6). En este caso

ϕ

$\phi$ y

ϕ^{*}

$\phi^*$ dependen unos de otros, por lo que solo debe tener una medida de integración, ¿verdad? Además, ¿cómo cambiarían los resultados de integración, como las integrales gaussianas, al considerar campos complejos?

Respuestas (2)

Integral de trayectoria para campo escalar complejo

SolublePeces · Answer 1

Para simplificar, consideremos la integral compleja estándar (la integral de trayectoria es solo el límite del producto de muchas integrales estándar).

Una función definida en el plano complejo $f(z)$ es igual a una función de dos variables reales $f(x,y)$ , dónde $x+iy =z$ . Por lo tanto, integrar sobre el plano complejo es lo mismo que integrar sobre dos variables reales. Formalmente, podríamos escribir la medida $\text d^2 z= \text dx \text dy$ (con el $2$ exponente para recordar que este es un $2$ integral dimensional).

Sin embargo, a menudo es útil tomar $(z,\bar z)$ como variables. Al principio, puede que no esté claro por qué funciona esto. Para la diferenciación, podemos definir $\partial = \frac12(\partial_x - i \partial_y)$ y $\bar{\partial} = \frac12(\partial_x + i \partial_y)$ . Luego verifica que esos operadores diferenciales satisfagan la regla de Leibniz así como:

\partial z = \bar{\partial} \bar{z} = 1 y \partial \bar{z} = \bar{\partial} z = 0

$\partial z = \bar \partial \bar z = 1 \qquad \text{ and }\qquad \partial\bar z = \bar \partial z = 0$ Por lo tanto, todo sucede como si

z

$z$ y

\bar{z}

$\bar z$ donde las variables independientes.

Para la integración, va de la misma manera. Nosotros definimos $\text d z = \text d x + i \text dy$ y $\text d\bar z = \text dx - i \text dy$ , y compruebe que, hasta la normalización:

d^{2} z = d X d y = d z d \bar{z}

$\text d^2 z = \text dx \text dy = \text d z \text d\bar z$ Aquí nuevamente, podemos actuar como si las dos variables fueran independientes.

Conclusión Para un campo complejo (bosónico o fermiónico), la integral de trayectoria es un producto infinito de $2$ Integrales complejas dimensionales. Si escribimos:

D ϕ = \prod_{X} d^{2} ϕ (X)

$\mathcal D\phi = \prod_x \text d^2 \phi(x)$ o

D ϕ D \bar{ϕ} = \prod_{X} d ϕ (X) \prod_{X} d \bar{ϕ} (X)

$\mathcal D\phi\mathcal D\bar \phi = \prod_x \text d \phi(x) \prod_x \text d\bar \phi(x)$ es puramente una cuestión de convenciones.

Muchas gracias. Entonces, si discretizáramos la integral $\int d^2z \ f(z,\overline{z})$ , simplemente sumaríamos un conjunto de variables $z$ , ¿bien? Entonces, para cada punto de la integral $z_i$ , simplemente sustituiríamos $f(z,\overline{z})\to f(z_{i},\overline{(z_{i})})$ .
con los puntos $(z_i)$ llenando el plano complejo (o el dominio relevante), sí.
Comprendido. Supongo que estaba confundido acerca de la notación, entonces. ¡Gracias!

qmecanico · Answer 2

De la misma manera que un campo par de Grassmann puede ser de valor real o complejo, un campo impar de Grassmann puede ser de valor real o complejo.
Con respecto a la sección 9.6 de P&S, consideran un campo complejo incluso de Grassmann $\phi$ . Escriben la medida de la integral de trayectoria como ${\cal D}\phi$ , mientras que otros autores en cambio escribirían la medida integral de trayectoria como ${\cal D}\phi^{\ast}{\cal D}\phi$ , pero en realidad significan lo mismo, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Con respecto a si tratar el campo conjugado complejo como independiente, consulte, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.
Con respecto a la ecuación de OP. (1) tenga en cuenta que existen diferentes convenciones de signos en la literatura para la conjugación compleja de un producto de Grassmann-variables impares

Muchas gracias por tu respuesta y los enlaces. Puedo ver que los dos campos son independientes con respecto a la derivada, lo cual es útil para las ecuaciones clásicas de movimiento. La parte integral es lo que me cuesta un poco más visualizar, porque parece que estamos sumando más del doble de conjuntos de campos en un caso frente al otro.

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Marcosko

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