Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=\int D[\phi]e^{iS(\phi)}; ¿ZZZ es real o complejo?

Question

Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=\int D[\phi]e^{iS(\phi)}; ¿ZZZ es real o complejo?

Física
integral de trayectoria
números complejos
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

anon21

es el resultado de $\int D[\phi]e^{iS(\phi)}$ real o complejo?

Si es complejo, ¿cómo funciona el valor esperado para un campo, dado de la siguiente manera?

⟨ F ⟩ = \frac{\int D [ϕ] F (ϕ) {mi}^{i S (ϕ)}}{\int D [ϕ] {mi}^{i S (ϕ)}}

$\langle F\rangle = \frac{\int D[\phi] F(\phi) e^{iS(\phi)}}{\int D[\phi]e^{iS(\phi)}}$

Si es real, ¿por qué es real la suma de un número complejo? ¿Existe un requisito implícito para cancelar la parte imaginaria?

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Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=\int D[\phi]e^{iS(\phi)}; ¿ZZZ es real o complejo?

prahar · Answer 1

Tengamos mucho cuidado con la fórmula de la integral de trayectoria exacta. Tenemos

\begin{aligned} ⟨ q_{F}, t_{F} | O (t) | q_{i}, t_{i} ⟩ & = \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{F}) = q_{F}} [d q (t)] Exp [i \int_{t_{i}}^{t_{F}} L (q (t), \dot{q} (t), t)] O (t) . \end{aligned}

$\begin{align} \langle q_f , t_f | {\cal O}(t) |q_i , t_i \rangle &= \int_{q(t_i) = q_i}^{q(t_f)=q_f} [dq(t)] \exp \left[ i \int_{t_i}^{t_f} L ( q(t) , {\dot q}(t) , t ) \right] {\cal O}(t). \end{align}$ Ahora tomamos un complejo conjugado en ambos lados. En el LHS, tenemos

⟨ q_{F}, t_{F} | O (t) | q_{i}, t_{i} ⟩^{*} = ⟨ q_{i}, t_{i} | O (t)^{†} | q_{F}, t_{F} ⟩

$\langle q_f , t_f | {\cal O}(t) |q_i , t_i \rangle^* = \langle q_i , t_i | {\cal O}(t)^\dagger |q_f , t_f \rangle$ En el RHS, tenemos

\begin{aligned} {(\int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{F}) = q_{F}} [d q (t)] Exp [i \int_{t_{i}}^{t_{F}} L (q (t), \dot{q} (t), t)] O (t))}^{*} \\ = \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{F}) = q_{F}} [d q (t)] Exp [- i \int_{t_{i}}^{t_{F}} L (q (t), \dot{q} (t), t)] O (t)^{*} \\ = \int_{q (t_{F}) = q_{F}}^{q (t_{i}) = q_{i}} [d q (t)] Exp [i \int_{t_{F}}^{t_{i}} L (q (t), \dot{q} (t), t)] O (t)^{*} \\ = ⟨ q_{i}, t_{i} | O (t)^{†} | q_{F}, t_{F} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} & \left( \int_{q(t_i) = q_i}^{q(t_f)=q_f} [dq(t)] \exp \left[ i \int_{t_i}^{t_f} L ( q(t) , {\dot q}(t) , t ) \right] {\cal O}(t) \right)^* \\ &\qquad \qquad = \int_{q(t_i) = q_i}^{q(t_f)=q_f} [dq(t)] \exp \left[- i \int_{t_i}^{t_f} L ( q(t) , {\dot q}(t) , t ) \right] {\cal O}(t)^* \\ &\qquad \qquad = \int^{q(t_i) = q_i}_{q(t_f)=q_f} [dq(t)] \exp \left[ i \int_{t_f}^{t_i} L ( q(t) , {\dot q}(t) , t ) \right] {\cal O}(t)^* \\ &= \langle q_i , t_i | {\cal O}(t)^\dagger |q_f , t_f \rangle . \end{align}$ ¡Todo es claramente consistente!

Tu caso es el mismo que el anterior con la extensión $t_f \to +\infty$ , $t_i \to -\infty$ .

¿Entonces la integral de trayectoria da la probabilidad, no la amplitud de probabilidad...?
¡No! La integral de trayectoria da la amplitud de probabilidad como se muestra arriba. No hay módulo cuadrado en ninguna parte.
Pero, ¿no es el valor esperado una suma de probabilidades? ¿Cómo se puede obtener el valor esperado de una suma de amplitud/
El LHS no es un valor esperado. Es una amplitud de transición.

Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=\int D[\phi]e^{iS(\phi)}; ¿ZZZ es real o complejo?

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