¿Por qué la teoría cuántica de campos no puede ser cuaternión en lugar de compleja?

Entonces, la definición de QFT en términos de integrales de trayectoria es que la función de partición es:

Z [ j ] ∝ ∫ mi i S [ ϕ ] + j . ϕ D [ ϕ ]

Pero, ¿tiene algún sentido si en lugar de esto tu ( 1 ) mecánica cuántica con la que lo reemplazas S tu ( 2 ) de cuaterniones unitarios:

Z [ j ] ∝ ∫ mi i S 1 [ ϕ ] + j S 2 [ ϕ ] + k S 3 [ ϕ ] + j . ϕ D [ ϕ ]

Obviamente hay tres acciones. S en lugar de uno Entonces, ¿este tipo de cosas están prohibidas? ¿O es equivalente a otra cosa? (es decir, ¿podrían combinarse las 3 acciones en una sola?) ¿Hay algo especial en los números complejos? ¿Cuál es el principio físico o principio matemático que dice que solo debemos considerar complejos tu ( 1 ) etapas.

¿Te refieres a los principios físicos de experimentación y observación? Nada dice que debas usar experimentos, puedes ser un filósofo o un constructor de mundos, son solo los científicos atrasados ​​​​los que aún intentan ajustar los modelos a los datos experimentales. ;-)
Sea lo que sea esto" S tu ( 2 ) función de partición" (esta no es la función de partición, sino la función de generación, por cierto) se supone que es, simplemente no es QFT. ¿Cuál sería el límite clásico (que tiene una sola acción) aquí? ¿Cómo obtenemos la dispersión? amplitudes (la no conmutatividad de los cuaterniones hace que expandir el exponencial sea un dolor)? No puedes simplemente escribir algo para Z [ j ] y preguntar "¿Por qué no esto?" , tienes que demostrar que realmente define un tipo consistente de teoría.
Esa es mi pregunta. ¿Define una teoría consistente? ¿Describiría algún tipo de Universo? ¿O está prohibido por algún teorema matemático? es decir, ¿es la Mecánica Cuántica inevitable o sólo una de un número infinito de teorías consistentes?
En la construcción de modelos nada está prohibido. Si desea saber qué describe, debe agregarle una interpretación. A diferencia de ACuriousMind, no estoy de acuerdo en que uno necesite consistencia. Tu expresión podría describir una aproximación de un sistema físico, en cuyo caso no tendría que formar una teoría consistente. Tenemos muchas aproximaciones ad-hoc útiles que no (también conocidas como "todas las teorías físicas jamás concebidas por el hombre").
@ACuriousMind Un dolor, pero no imposible (como estoy seguro de que sabrás): en.wikipedia.org/wiki/Magnus_expansion , en.wikipedia.org/wiki/… y otras generalizaciones no conmutativas similares.
¿No es ilegal que una QFT tenga un escalar real en el término exponencial? Tenía la impresión de que el escalar debería estar en el Lagrangiano tal que el término imaginario i actúa sobre toda la acción. Esto significaría que la suma es sobre términos puramente imaginarios, y no sobre el campo complejo. Entonces, la tesis de que el campo complejo puede ser reemplazado por el campo cuaterniónico está severamente dañada (ni siquiera fue el campo complejo el que se usó, para empezar, sino solo un término imaginario). Interesado en sus opiniones!

Respuestas (2)

Teóricamente se puede. Adler escribió un libro Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields , donde se resuelven los detalles. Véase también el artículo reciente de Arbab Quaternionic Quantum Mechanics . Sin embargo, no está claro qué ventajas ofrece la teoría cuaterniónica sobre la compleja, y las cuestiones analíticas no funcionan muy bien. Hamilton ya encontró dificultades al tratar de desarrollar el análisis cuaterniónico , la teoría es bastante pobre en comparación con una compleja. Adler escribe:

" sabemos que, en analogía con la analiticidad compleja, se ha desarrollado un concepto mucho más restringido de analiticidad de cuaterniones en la literatura matemática... no hemos encontrado ningún contexto en nuestro desarrollo de la mecánica cuántica cuaterniónica en el que el uso de la analiticidad de cuaterniones parezca natural (pero podría haber uno) ".

Como dijo un comentarista, " esencialmente, Alder está usando mecánica cuántica compleja con coeficientes de cuaterniones solo cuando es seguro ", vea más en la discusión de Google Groups .

El artículo de Arbab es informativo, pero ¿estamos limitados a las mismas ecuaciones de movimiento que usamos en el caso complejo? Tampoco estoy seguro de cuántas de las propiedades físicas que recupera de estas ecuaciones dependen realmente de la estructura algebraica de la representación de la función de onda. Parece una mirilla a un nivel estructural más profundo y acaba de recuperar algunos casos especiales.
No creo que esto sea lo mismo de lo que estaba hablando. Esencialmente, creo que una ecuación de Shrodinger cuaterniónica involucraría 3 hamiltonianos. p.ej ∂ Ψ ∂ t = ( i H 1 + j H 2 + k H 3 ) Ψ . En ese caso, en lugar de que Energy sea un escalar, sería un 3-vector. Un poco raro, pero ¿está descartado por las matemáticas? Por ejemplo, si requiriera también 3 coordenadas de tiempo, eso podría descartarlo.
@zooby Solo estaba respondiendo la pregunta del título. En cuanto a su sugerencia específica, no hay nada matemáticamente incorrecto con esta ecuación de evolución en una sola variable de tiempo, tiene una solución única para condiciones iniciales razonables, etc. Pero en lo que respecta a la física, habría que interpretarla y estudiarla, y no lo hago saber si alguien lo hizo.
@CuriousOne No creo que exista tal limitación, pero el enfoque de Adler fue tomar ecuaciones complejas, reemplazar números complejos con cuaterniones y ver qué sucede. Arbab está más interesado en establecer conexiones entre cuaterniónicos y diferentes ecuaciones complejas, y quizás recuperar teorías habituales con algunos efectos adicionales.
Gracias por la calificación. Simplemente no puedo decir qué propiedades de estas soluciones se derivan de la estructura de las ecuaciones y cuáles dependen de la elección de números complejos/cuaterniones. Las frecuencias complejas son ciertamente notables y preocupantes. No sé qué hacer con eso.

Creo que Marek Danielewski puede haber respondido esta pregunta en este artículo de diciembre de 2020: Fundamentos de la mecánica cuántica del cuaternión https://www.mdpi.com/1099-4300/22/12/1424#

En resumen: se puede considerar que los cuaterniones representan compresión (la parte real) y torsión (las tres partes imaginarias). Se utilizan en la física de la materia condensada para modelar ondas en sólidos o cristales elásticos. Marek aplica este modelo a la física cuántica y deriva la ecuación de Schrödinger combinando el modelo de Cauchy del continuo elástico con la descomposición de Helmholtz.

Hola Chantal Roth, una respuesta no debe consistir solo en un enlace, ya que si el enlace ya no funciona la respuesta no sirve de nada. Por lo tanto, recomendaría, al menos brevemente, resumir lo que uno encontraría siguiendo el enlace dado.
Gracias por la pista, tiene sentido :-).
¿Por qué la teoría cuántica de campos no puede ser cuaternión en lugar de compleja?
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