Verde de dos puntos para campos de Dirac libres

Question

Verde de dos puntos para campos de Dirac libres

Física
fermiones
integral de trayectoria
Grassmann-números
teoría cuántica de campos
derivados funcionales

hombre de la lluvia

Estoy tratando de calcular el $2$ función de punto verde $\tau_2(x,y)$ para campos de Dirac gratis. La fórmula correspondiente para $\tau_2(x,y)$ es dado por

τ_{2} (X, y) = - \frac{d^{2}}{d η_{X} d {\bar{η}}_{y}} Z_{0} [η_{w}, {\bar{η}}_{z}],

$\tau_2(x,y) = -\frac{\delta^2}{\delta\eta_x \delta \bar{\eta}_y} \, Z_0[\eta_w, \bar{\eta}_z],$

dónde $Z_0$ es el funcional generador de campos libres de Dirac dado por

Z_{0} [η_{w}, {\bar{η}}_{z}] = Exp (- i \int {\bar{η}}_{z} S (z - w) η_{w} d z d w) .

$Z_0[\eta_w, \bar{\eta}_z] = \exp\left(-i\int \bar{\eta}_z \, S(z-w) \, \eta_w \, dz \, dw\right).$

Aquí, $\eta$ y $\bar{\eta}$ son términos fuente. También, $S^{-1} = i\gamma\cdot\partial - m$ es el operador que aparece en el término cuadrático del lagrangiano.

Notación $\eta_x \equiv \eta(x)$ etc.

Al principio, determino $\frac{\delta Z_0}{\delta\bar{\eta}_y}$ como

\begin{matrix} (1) & \frac{d Z_{0}}{d {\bar{η}}_{y}} = - i Z_{0} \int S (y - w) η_{w} d w . \end{matrix}

$\frac{\delta Z_0}{\delta\bar{\eta}_y} = -iZ_0 \int S(y-w) \eta_w \, dw. \label{a}\tag{1}$

Luego trato de calcular

\begin{aligned} - \frac{d^{2} Z_{0}}{d η_{X} d {\bar{η}}_{y}} & = - \frac{d}{d η_{X}} [- i Z_{0} \int S (y - w) η_{w} d w] \\ (2) & = i \frac{d}{d η_{X}} [Z_{0} [η_{w}, {\bar{η}}_{z}] \int S (y - w) η_{w} d w] \end{aligned}

$\begin{align} -\frac{\delta^2 Z_0}{\delta\eta_x\delta\bar{\eta}_y} &= -\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[-iZ_0 \int S(y-w) \eta_w \, dw \right] \\ &= i\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[Z_0[\eta_w, \bar{\eta}_z] \int S(y-w) \eta_w \, dw \right] \label{b}\tag{2} \end{align}$

Pregunta

Cómo proceder a partir de este paso (ec. ( $\ref{b}$ ))? Tengo que sacar la derivada funcional del producto de dos funcionales de Grassmann. ¿Cuál es la fórmula relevante para ello? Si también mencionas alguna referencia, sería genial.
En la ec. ( $\ref{a}$ ) He escrito $Z_0$ antes de la parte derivada funcional. ¿Debo escribirlo después del término derivado funcional? En otras palabras, ¿cuál es la regla de la cadena para los funcionales de Grassmann?
En el Apéndice mencioné la fórmula para tomar la derivada funcional de un producto de funcionales de Grassmann. Digamos que tengo un producto de algunos funcionales de Grassmann y una función ordinaria $f(x) \in \mathbb{C} \forall x$ . Entonces, ¿cómo evaluar esta derivada funcional? Eso es,

\frac{d}{d ψ (X)} [ψ (y_{1}) F (y_{2}) ψ (y_{3})] = ?

$\frac{\delta}{\delta\psi(x)} [\psi(y_1) f(y_2) \psi(y_3)] = ?$ dónde

ψ

$\psi$ es un campo de Grassmann.

Apéndice

La fórmula utilizada para calcular la ec. ( $\ref{a}$ ) se da a continuación.

\frac{d}{d ψ (X)} [ψ (y_{1}) \dots ψ (y_{norte})] = d (y_{1} - X) ψ (y_{2}) \dots ψ (y_{norte}) + (- 1) d (y_{2} - X) ψ (y_{1}) \dots ψ (y_{norte}) + \dots \dots + (- 1)^{norte - 1} d (y_{norte} - X) ψ (y_{1}) \dots ψ (y_{norte - 1}) .

$\frac{\delta}{\delta\psi(x)} [\psi(y_1) \cdots \psi(y_n)] = \delta(y_1-x) \psi(y_2) \cdots \psi(y_n) + (-1) \delta(y_2-x) \psi(y_1) \cdots \psi(y_n) + \cdots \cdots + (-1)^{n-1} \delta(y_n-x) \psi(y_1) \cdots \psi(y_{n-1}).$

Profesor Legolasov

La respuesta es obviamente

S

$S$ . ¿Estás seguro de que no estás pensando demasiado en esto?

Respuestas (2)

Verde de dos puntos para campos de Dirac libres

La respuesta es obviamente $S$ . ¿Estás seguro de que no estás pensando demasiado en esto?

Kevin De Notariis · Answer 1

En primer lugar, la integral funcional $Z_0$ es un número real, ya que se define como un valor esperado de vacío:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] := ⟨ 0 | T {mi}^{i ⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩} | 0 ⟩

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]:=\langle0|T\,e^{i\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle}|0\rangle$ dónde

T

$T$ es el tiempo que ordena operato y:

⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩ := \int d^{4} X (\bar{ζ} (X) ψ (X) + \bar{ψ} (X) ζ (X))

$\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle:=\int d^4x(\bar{\zeta}(x)\psi(x)+\bar{\psi}(x)\zeta(x))$ Ahora, después de algunos pasos analíticos, se encuentra que este objeto debe satisfacer la ecuación de Symanzik :

[(i γ^{m} \partial_{m} - metro) \frac{d}{i d {\bar{ζ}}_{z}} - ζ_{z}] Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = 0

$\left[(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\frac{\delta}{i\delta\bar{\zeta}_z}-\zeta_z\right]Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=0$ Se encuentra que una solución se obtiene fácilmente al poner (como un ansatz):

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = {mi}^{- \int d^{4} X \int d^{4} y (\bar{ζ} (X) S_{F} (X - y) ζ (y))} = {mi}^{- ⟨ {\bar{ζ}}_{X} S_{X y}^{F} ζ_{y} ⟩}

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=e^{-\int d^4x\int d^4y\,(\bar{\zeta}(x)S_F(x-y)\zeta(y))}=e^{-\langle\bar{\zeta}_xS^F_{xy}\zeta_y\rangle}$ Pero, en general, se puede buscar una solución para una ecuación diferencial lineal por medio de una transformada de Fourier. De este modo definimos la transformada funcional de Fourier de

Z_{0}

$Z_0$ como:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = \int D ψ \int D \bar{ψ} \tilde{Z} [ψ, \bar{ψ}] {mi}^{i \int d^{4} X (\bar{ζ} (X) ψ (X) + \bar{ψ} (X) ζ (X))} = \int D ψ \int D \bar{ψ} \tilde{Z} [ψ, \bar{ψ}] {mi}^{i ⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩}

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=\int\mathscr{D}\psi\int\mathscr{D}\bar{\psi}\,\tilde{Z}[\psi,\bar{\psi}]e^{i\int d^4x(\bar{\zeta}(x)\psi(x)+\bar{\psi}(x)\zeta(x))}=\int\mathscr{D}\psi\int\mathscr{D}\bar{\psi}\,\tilde{Z}[\psi,\bar{\psi}]e^{i\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle}$ Al poner esta transformada funcional de Fourier en la ecuación de Symanzik, podemos identificar:

\tilde{Z} [ψ, \bar{ψ}] := norte {mi}^{i \int d^{4} X \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} - metro) ψ} = norte {mi}^{i S_{D} [ψ, \bar{ψ}]}

$\tilde{Z}[\psi,\bar{\psi}]:=\mathcal{N}e^{i\int d^4x\,\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi}=\mathcal{N}e^{iS_D[\psi,\bar{\psi}]}$ dónde

N

$\mathcal{N}$ es una constante y se obtiene:

Z_{0} [ζ, \bar{ζ}] = norte \int D ψ \int D \bar{ψ} {mi}^{i S_{D} + i ⟨ {\bar{ζ}}_{X} ψ_{X} + {\bar{ψ}}_{X} ζ_{X} ⟩}

$Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]=\mathcal{N}\int\mathscr{D}\psi\int\mathscr{D}\bar{\psi}\,e^{iS_D+i\langle\bar{\zeta}_x\psi_x+\bar{\psi}_x\zeta_x\rangle}$ Ahora (en analogía con el caso bosónico), la función de Green de 2n puntos se puede escribir como:

S_{0}^{(2 norte)} (X_{1}, . . ., X_{norte}; y_{1}, . . ., y_{norte}) = ⟨ 0 | ψ (X_{1}) \dots ψ (X_{norte}) \bar{ψ} (y_{1}) \dots \bar{ψ} (y_{norte}) | 0 ⟩ = \frac{d^{(2 norte)} Z_{0} [ζ, \bar{ζ}]}{d \bar{ζ} (X_{1}) \dots d \bar{ζ} (X_{norte}) d ζ (y_{1}) \dots d ζ (y_{norte})} |_{ζ = 0, \bar{ζ} = 0}

$S^{(2n)}_0(x_1,...,x_n;y_1,...,y_n)=\langle 0|\psi(x_1)\cdots\psi(x_n)\bar{\psi}(y_1)\cdots\bar{\psi}(y_n)|0\rangle=\frac{\delta^{(2n)}Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]}{\delta\bar{\zeta}(x_1)\cdots\delta\bar{\zeta}(x_n)\delta\zeta(y_1)\cdots\delta\zeta(y_n)}\bigg|_{\zeta=0,\bar{\zeta}=0}$ Y si queremos evaluar la función de Green de 2 puntos, primero evaluamos:

\frac{d Z_{0}}{d ζ (X_{2})} = \frac{d}{d ζ (X_{2})} {mi}^{- \int d^{4} X \int d^{4} y (\bar{ζ} (X) S_{F} (X - y) ζ (y)} = - \int d^{4} X (- 1) \bar{ζ} (X) S_{F} (X - X_{2}) \cdot Z_{0} [ζ, \bar{ζ}]

$\frac{\delta Z_0}{\delta\zeta(x_2)}=\frac{\delta}{\delta\zeta(x_2)}e^{-\int d^4x\int d^4y (\bar{\zeta}(x)S_F(x-y)\zeta(y)}=-\int d^4x\, (-1)\bar{\zeta}(x)S_F(x-x_2)\cdot Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]$ donde el

(- 1)

$(-1)$ se debe a que la derivada funcional grassman tiene que saltar sobre el

\bar{ζ}

$\bar{\zeta}$ , que es una función con valor grassman. Entonces:

\frac{d}{d \bar{ζ} (X_{1})} (\frac{d Z_{0}}{d ζ (X_{2})}) = \frac{d}{d \bar{ζ} (X_{1})} (\int d^{4} X \bar{ζ} (X) S_{F} (X - X_{2}) \cdot Z_{0} [ζ, \bar{ζ}]) = S_{F} (X_{1} - X_{2}) \cdot Z_{0} + (\int d^{4} X \bar{ζ} (X) S_{F} (X - X_{2}) \cdot (- 1) \int d^{4} y S_{F} (X_{1} - y) ζ (y) \cdot Z_{0})

$\frac{\delta}{\delta\bar{\zeta}(x_1)}\left(\frac{\delta Z_0}{\delta\zeta(x_2)}\right)=\frac{\delta}{\delta\bar{\zeta}(x_1)}\left(\int d^4x\, \bar{\zeta}(x)S_F(x-x_2)\cdot Z_0[\zeta,\bar{\zeta}]\right)=S_F(x_1-x_2)\cdot Z_0+\left(\int d^4x\, \bar{\zeta}(x)S_F(x-x_2)\cdot (-1)\int d^4 y\, S_F(x_1-y)\zeta(y)\cdot Z_0\right)$ Poniendo

ζ = 0, \bar{ζ} = 0

$\zeta=0,\bar{\zeta}=0$ , el

Z_{0}

$Z_0$ es

1

$1$ y el segundo término tiende a cero, obteniendo:

S_{0}^{(2)} (X_{1}, X_{2}) = S_{F} (X_{1} - X_{2})

$S^{(2)}_0(x_1,x_2)=S_F(x_1-x_2)$

La integral funcional es un número real, no tiene valor de Grassman, por lo que no tiene que preocuparse por el orden de su ecuación (2) .

"la integral funcional $Z_0[\zeta, \bar{\zeta}]$ es un número real". NO, $Z_0$ NO es un número real. En cambio, está clasificado en números de Grassmann. $\zeta$ y $\bar{\zeta}$ . Sin embargo, las funciones de Green de n puntos son reales/complejas.
En este esquema no supersimétrico, ¿importa siquiera esta distinción? :)

Mad Max · Answer 2

Estoy tratando de calcular la función de Green de 2 puntos $\tau_2(x,y) = -\frac{\delta^2}{\delta\eta_x \delta \bar{\eta}_y} \, Z_0[\eta, \bar{\eta}]$

tienes que tomar el $\eta=0$ / $\bar{\eta}=0$ límite como el paso final

τ_{2} (X, y) = - \frac{d^{2}}{d η_{X} d {\bar{η}}_{y}} Z_{0} [η, \bar{η}] |_{η = 0, \bar{η} = 0} .

$\tau_2(x,y) = -\frac{\delta^2}{\delta\eta_x \delta \bar{\eta}_y} \, Z_0[\eta, \bar{\eta}] \bigg|_{\eta=0,\bar{\eta}=0}.$ Funciones de Green (a diferencia de la integral funcional)

Z_{0} [η, \bar{η}]

$Z_0[\eta, \bar{\eta}]$ ) no debe ser explícitamente

η

$\eta$ /

\bar{η}

$\bar{\eta}$ dependiente.

¿Cómo proceder a partir de este paso (ecuación (2)?

El $\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[Z_0[\eta, \bar{\eta}] \right]$ parte en la ecuación (2) se eliminará después de tomar la $\eta=0$ / $\bar{\eta}=0$ límite en el paso final. Por lo tanto, solo te preocupas por el $\frac{\delta}{\delta\eta_x} \left[\int S(y-w) \eta_w \, dw \right]$ parte.

En la ec. (1) he escrito $Z_0$ antes de la parte derivada funcional. ¿Debo escribirlo después del término derivado funcional?

El punto clave es que la integral funcional $Z_0[\eta, \bar{\eta}]$ tiene una calificación PAR en números de Grassmann $\eta$ / $\bar{\eta}$ . El orden de $Z_0$ en la ec. (1) NO importa.

Entonces, ¿cómo evaluar esta derivada funcional?

Solo trata la función ordinaria. $f(x)$ como un número real/complejo constante. No interfiere con la derivada funcional.

Verde de dos puntos para campos de Dirac libres

hombre de la lluvia

Profesor Legolasov

Respuestas (2)

Kevin De Notariis

Mad Max

Kevin De Notariis

Mad Max

¿Qué son exactamente los "campos con valores de Grassmann"?

Integral de trayectoria como determinante funcional

Contradicción entre álgebra fermiónica y de Grassmann

¿Por qué son necesarios los estados coherentes para definir la integral de trayectoria fermiónica?

¿Número de generadores Grassmann para el campo Dirac?

Derivada funcional para la misma función expresada antes y después de la rotación de Wick

Término de Chern-Simons: Integración de fermiones con huecos en dimensiones 2+1 acoplados a un campo de calibre externo

Signos negativos relativos de diferentes diagramas de Feynman

Derivación del principio de acción de Schwinger a partir de la ecuación de Heisenberg y CCR: ¿por qué funciona con variaciones de Antitrabajo?

¿Qué se entiende por "modos" fermiónicos y bosónicos?