Concepto de extremal en QFT

En la teoría de campos clásica, las variables de campo dinámicas en el caparazón q ¯ dar un valor mínimo de la acción:

A = ∫ d t   L ( q ¯ ( t ) , q ¯ ˙ ( t ) ) .

En este caso, la acción es en realidad un número real , por lo que tiene sentido que tenga algún valor extremo .

¿Cuál es el significado de "extremo" en la teoría canónica de campos cuánticos donde la acción,

A = ∫ d 4 X   L ( ϕ ¯ ( X ) , ∂ m ϕ ¯ ( X ) )
es en cambio, un operador?

No hay "acción como operador" en QFT, por lo que su pregunta no tiene sentido.
Los campos son operadores ¿verdad? Entonces, una integral de alguna función de estos campos debería ser un operador.
No, el lagrangiano se refiere a campos clásicos. En QFT (en el marco de cuantización canónica), primero se considera un Lagrangiano de campos clásicos , luego se pasa al marco hamiltoniano y solo entonces se cuantifican los campos.
¿Quiere decir que los campos utilizados en, por ejemplo, el lagrangiano KG no son operadores? Acabo de terminar de leer algunos libros que parecen decir que el campo escalar \phi(x) es en realidad la suma de los operadores de creación y aniquilación que crean y aniquilan partículas en x. ¿Tienes alguna fuente?
Bien, en la formulación de la integral de ruta, los campos son (super) números, mientras que en el mecanismo de cuantificación canónica, los campos son operadores. ¿Es eso correcto?

Respuestas (1)

  1. La acción en la teoría cuántica de campos formalmente 1 entra en el formalismo del operador a través del principio de acción de Schwinger . Sin embargo, no como un problema variacional genuino per se. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

  2. A diferencia del formalismo del operador, la acción (y sus extremos) entran y juegan un papel central en la formulación de la integral de trayectoria , en particular en el límite semiclásico. En el formalismo de integral de trayectoria, los campos (y por lo tanto la acción) tienen valores numéricos (en lugar de valores de operador), cf. esta publicación Phys.SE. Entonces se aplica el cálculo variacional habitual.

  3. De manera más general, es interesante preguntarse ¿ Qué debería ser un problema variacional con valores de operador? ¿Cómo debemos ordenar los operadores y qué es un operador extremal? Estas preguntas forman parte de los amplios temas matemáticos de la teoría de operadores , el análisis funcional , el análisis convexo y la teoría de la optimización .

  4. En física, la tarea de optimizar operadores generalmente implica tomar una norma o un rastro al final para formar un funcional de valor real (en lugar de un valor de operador). Este es, por ejemplo, el caso típico de los modelos matriciales , es decir, volvemos al caso en el que se aplica el cálculo variacional habitual.

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1 Formalmente, hasta posibles problemas de ordenamiento del operador relacionados con convertir la acción en un operador.

Esto es raro, usamos la acción para derivar las cargas de Noether conservadas para algunos lagrangianos mientras aprendíamos el procedimiento canónico. ¿Fue solo en el espíritu de la introducción, es decir, quiere decir que en los cálculos reales en la teoría de la perturbación canónica a las personas no les importa la acción?
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