¿Qué son exactamente los "campos con valores de Grassmann"?

Peskin y Schroeder definen un campo de Grassmann ψ ( X ) como una función cuyos valores son números anticonmutantes, que se puede escribir como: [p.301 eq. 9.71]

(9.71) ψ ( X ) = ∑ ψ i ϕ i ( X ) ,

dónde ψ i se dice que son "números de Grassmann" y ϕ i ( X ) son funciones ordinarias. Sin embargo, esto parece inconsistente con la definición de números de Grassmann como se da, por ejemplo, en Wikipedia , donde un número de Grassmann es un elemento del 2 norte -Álgebra dimensional generada por un conjunto de norte generadores Por ejemplo, son los generadores los que están en contra de los desplazamientos y no (necesariamente) los números. Como ejemplo simple si tenemos un álgebra de Grassmann con dos generadores anticonmutación θ 1 , θ 2 entonces un número general de Grassmann es a + b θ 1 + C θ 2 + d θ 1 θ 2 dónde a , b , C , d son números complejos.

Entonces, ¿es correcto decir que cuando P&S dice "números de Grassmann" en realidad se refieren a los generadores del álgebra de Grassmann, y que el valor que el campo puede tener en cualquier punto es una combinación lineal de esos generadores?

Mi pregunta principal es cómo entender el concepto de una configuración particular de tal campo. A primera vista parece que diferentes configuraciones corresponden a diferentes combinaciones lineales de los generadores. Pero luego se supone que debemos integrar sobre todas las configuraciones en la integral de trayectoria, entonces, ¿no significa eso que deberíamos estar integrando sobre la ϕ i ( X ) 's y no el ψ i '¿s?

Respuestas (1)

  1. Por un lado, Wikipedia está hablando de la base subyacente ( θ i ) i = 1 , … , norte de generadores impares de Grassmann para supernúmeros . Por lo general, en física, norte = ∞ . [Estos elementos básicos θ i no son necesarios para cálculos prácticos y no deben confundirse con los parámetros impares de Grassmann θ de un supercampo Φ ( X , θ ) .]

  2. Por otro lado, un campo valorado por Grassmann X ↦ η ( X ) mapea un punto del espacio-tiempo X en un supernúmero impar de Grassmann. En particular, un campo de Dirac valorado por Grassmann X ↦ ψ ( X ) mapea un punto del espacio-tiempo X en una tupla de 4 de supernúmeros impares de Grassmann, que forman un espinor de Dirac.

  3. P&S eq. (9.71) es, en el mejor de los casos, una fórmula muy engañosa. Es incorrecto ver los elementos ψ i como elementos base θ i . Más bien el ψ i debe ser un monomio de orden impar de los elementos básicos, y la suma en el lado derecho eq. (9.71) debe estar sobre todos estos monomios de orden impar.

  4. Sobre la integral de Berezin

    (1) ∫ F 0 | 1 d η   F ( η )   =   d F ( η ) d η ,
    la variable de integración η no es un elemento base θ i , sino más bien un supernúmero impar de Grassmann η . En particular, los monomios de orden impar de elementos básicos θ i dentro de la variable de integración η no tienen nada que decir al asignar el valor de la integral (1). [En la integral (1) el campo subyacente F es cualquiera R o C .]

  5. Consulte también este , este y este post relacionado con Phys.SE.

Gracias, sin embargo, con respecto a su punto 3. - si el ψ i son monomios de orden impar, ¿cómo se obtiene una integral gaussiana de una acción que involucra términos cuadráticos como ψ ¯ ψ ? Si el ψ i son los generadores θ i entonces esto es inmediato, pero no veo claramente cómo sucede esto de otra manera (¿hay alguna cancelación masiva en curso?). - y con respecto a la segunda parte de la pregunta, ¿es correcto decir que el ϕ i determinar la configuración de campo específica?
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