Teoría del campo de dimensión cero

La teoría del campo cuántico de dimensión cero es exactamente como una teoría del campo cuántico estándar, excepto que el espacio-tiempo de fondo es exactamente un punto.

Considere, por un momento, un$d$-QFT dimensional definido por una partición funcional (en la firma euclidiana)

$$\mathcal{Z}[J]=\int\mathcal{D}\phi\,e^{-S[\phi,J]},$$

dónde$\phi$es un marcador de posición para todos los campos y$J$es un marcador de posición para todas las corrientes. Variar$\mathcal{Z}$con respecto a$J$da una manera de calcular las funciones de correlación.

Ahora, una QFT de dimensión cero se formula de la misma manera, pero, dado que los campos no varían con la posición (dado que no hay una posición con la que variar), la integral de trayectoria simplemente se convierte en una integral regular:

$$\mathcal{Z}(J)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\phi\,e^{-S(\phi,J)}.$$

En esta luz,$\mathcal{Z}$es una función de una variable$J$y$S$es una función de$\phi$y$J$, no un funcional.

¿Por qué es útil definir esto? El mayor uso es poder estudiar las propiedades de los QFT sin las complicaciones adicionales de tener que trabajar con múltiples dimensiones. Por ejemplo, considere un QFT de dimensión cero, cuya acción está dada por

$$S(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4}\phi^4.$$

Esto es solo un análogo de dimensión cero de$\phi^4$teoría que todos estamos acostumbrados a estudiar. Digamos que quiero calcular la función de cuatro puntos

$$\langle\phi^4\rangle=\frac{1}{\mathcal{Z}}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}\phi\,\phi^4\,\exp\left(-\frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4}\phi^4\right).$$

Expandiendo la exponencial tanto en el numerador como en el denominador, encontramos que$\langle\phi^4\rangle$es una expansión perturbativa en$\lambda$. ¡Si trabajara un poco más, podría descubrir fácilmente la imagen esquemática de esta expansión! Acabamos de encontrar una expansión esquemática con un trabajo mínimo. ¡Guau!

Este también es un buen campo de juego para considerar temas QFT más complicados, como la teoría de calibre, las integrales de trayectoria fermiónica, la sumatoria e incluso la supersimetría (consulte el siguiente maravilloso conjunto de notas de David Skinner).

Esto es incluso útil fuera de la física. Un matemático podría ver el poder en esto muy rápidamente. Usando una integral de trayectoria de dimensión cero, podemos encontrar una manera de enumerar el número de gráficos con$k$líneas externas,$n$vértices, y con reglas específicas sobre cuántos bordes pueden golpear un nodo. Las integrales de trayectoria de dimensión cero también tienen importancia geométrica, ya que algunas teorías supersimétricas tienen cohomologías correspondientes a las de espacios topológicos interesantes.

En general, los QFT de dimensión cero son solo campos de juego muy útiles para explorar aspectos de QFT más complicados, y también tienen utilidad en matemáticas puras.

¡Espero que esto ayude!

Solo quería complementar las respuestas anteriores al señalar que la rotación de Wick de 0D QFT es lo mismo que la mecánica estadística. Por ejemplo, la función de partición de un gas

$$Z(\beta)=\int d^3\vec{p}_1\cdots d^3\vec{p}_Nd^3\vec{r}_1\cdots d^3\vec{r}_N e^{-\beta\left(\sum_{i=1}^N\frac{\vec{p_i}^2}{2m}+V(\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_N)\right)}$$ Toma exactamente la forma de un QFT 0D para un campo$\phi=(\vec{p}_1,\dots,\vec{p}_N,\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N):\{\text{pt}\}\rightarrow\mathbb{R}^{6N}$cuya acción euclidiana es $$S_E(\phi)=\sum_{i=1}^N\frac{\vec{p_i}^2}{2m}+V(\vec{r}_1,\dots,\vec{r}_N)$$ y$\beta=\frac{1}{\hbar}$. Por supuesto, la identificación del espacio-tiempo con un punto es arbitraria. Podría haberlo establecido igualmente bien$\phi:\{1,\dots,N\}\rightarrow\mathbb{R}^6$por$\phi(i)=(\vec{r}_i,\vec{p}_i)$, o$\phi:\{1,2\}\rightarrow\mathbb{R}^N$por$\phi(1)=(\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N)$y$\phi(2)=(\vec{p}_1,\dots,\vec{p}_N)$.