¿Por qué tratar el campo escalar complejo y su complejo conjugado como dos campos diferentes?

Question

¿Por qué tratar el campo escalar complejo y su complejo conjugado como dos campos diferentes?

Física
Teoría-de-campo
Números-complejos
Cálculo-variacional
Formalismo-lagrangiano
Teoría-del-campo-cuántico

BMS

Soy nuevo en QFT, por lo que es posible que tenga una terminología incorrecta.

Muchos libros de QFT proporcionan un ejemplo de derivación de ecuaciones de movimiento para varias teorías libres. Un ejemplo es para un campo escalar complejo:

L_{escaclar compl} = (\partial_{μ} ϕ^{*}) (\partial^{μ} ϕ) - {metro}^{2} ϕ^{*} ϕ .

El "truco" habitual para obtener las ecuaciones de movimiento es tratar

ϕ

ϕ

ϕ

y

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

ϕ^{*}

como campos separados Incluso después de este truco, los autores eligen tratarlos como campos separados en su terminología. Esto se hace a veces antes de imponer una segunda cuantización en las relaciones de conmutación, de modo que

ϕ

ϕ

ϕ

no es (todavía) un campo de operadores. (En particular, estoy siguiendo la formulación de QFT en este libro de Robert D. Klauber, "Student Friendly Quantum Field Theory" ) .

¿Cuál es la motivación para este método de tratar los dos campos como separados? Intuitivamente quiero tratar $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ como simplemente el complejo conjugado de $ϕ,$ $ϕ,$ $ϕ,$ no como un campo separado, y trabajar exclusivamente con $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ .

¿Es simplemente un atajo para obtener las ecuaciones de movimiento?

(◻ + {metro}^{2}) ϕ = 0 0 (◻ + {metro}^{2}) ϕ^{*} = 0 0 ?

También entiendo que uno podría escribir $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + i ϕ_{2}$ $ϕ = ϕ_{1} + yo ϕ_{2}$ donde los dos campos suscritos son reales, como se hace aquí ; tal vez esto aborde mi pregunta de una manera que no entiendo.

auxsvr

Son campos separados. Son linealmente independientes, el espacio vectorial que forman es de dimensión 2.

Respuestas (3)

¿Por qué tratar el campo escalar complejo y su complejo conjugado como dos campos diferentes?

Son campos separados. Son linealmente independientes, el espacio vectorial que forman es de dimensión 2.

Qmechanic · Answer 1

TL; DR: Sí, es solo un atajo. El punto principal es que el mapa complejo

\begin{matrix} (UN) & (\begin{matrix} ϕ \\ ϕ^{*} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & yo \\ 1 & - yo \end{matrix}) (\begin{matrix} ϕ_{1} \\ ϕ_{2} \end{matrix}) \end{matrix}

es un mapa biyectivo: $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ $C^{2} \to C^{2}$ .

Notación en esta respuesta: en esta respuesta, dejemos $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ denotar dos campos complejos independientes . Dejar $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ denotar el complejo conjugado de $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ .

I) Comencemos por el principio. Imagine que consideramos una teoría de campo de un campo escalar complejo $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ . Se nos da una densidad lagrangiana

\begin{matrix} (SI) & L = L (ϕ, \bar{ϕ}, \partial ϕ, \partial \bar{ϕ}) \end{matrix}

eso es un polinomio en $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ , $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ $\bar{ϕ}$ y derivados del espacio-tiempo de los mismos. Siempre podemos descomponer un campo complejo en partes reales e imaginarias.

\begin{matrix} (C) & ϕ \equiv ϕ_{1} + yo ϕ_{2}, \end{matrix}

dónde $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ . Por lo tanto, podemos reescribir la densidad lagrangiana (B) como una teoría de dos campos reales.

\begin{matrix} (RE) & L = L (ϕ_{1}, ϕ_{2}, \partial ϕ_{1}, \partial ϕ_{2}) . \end{matrix}

II) Podemos continuar al menos de tres maneras:

Variar la acción wrt. las dos variables reales independientes $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ .
Originalmente $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in R$ son, por supuesto, dos campos reales . Pero podemos complejizarlos, variar la acción wrt. las dos variables complejas independientes $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ $ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C$ , si al final del cálculo imponemos las dos condiciones reales
$\begin{matrix} (MI) & yo metro (ϕ_{1}) = 0 0 = yo metro (ϕ_{2}) . \end{matrix}$
O, de manera equivalente, podemos reemplazar el campo conjugado complejo $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ $\bar{ϕ} \to ϕ^{*}$ en la densidad lagrangiana (B) con una nueva variable compleja independiente $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ , es decir, tratar $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ y $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ $ϕ^{*}$ como dos variables complejas independientes, varíe la acción wrt. las dos variables complejas independientes $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ $ϕ, ϕ^{*} \in C$ , si al final del cálculo imponemos la condición compleja
$\begin{matrix} (F) & ϕ^{*} = \bar{ϕ} . \end{matrix}$

III) Las ecuaciones de Euler-Lagrange que derivamos a través de los dos métodos (1) y (2) obviamente serán exactamente las mismas. Las ecuaciones de Euler-Lagrange que derivamos a través de los dos métodos (2) y (3) serán solo combinaciones lineales entre sí con coeficientes dados por la matriz constante de eq. (UN).

IV) Mencionamos para completar que la teoría compleja [es decir, la teoría que obtendríamos si no imponemos la condición (E), o equivalentemente, la condición (F)] generalmente no es unitaria y, por lo tanto, está mal definida como QFT. Recuerde, para empezar, que generalmente exigimos que la densidad lagrangiana sea real.

Referencias

Sidney Coleman, notas de QFT ; pag. 56-57.

Nikos M. · Answer 2

Por supuesto, la respuesta de @ QMechanic es correcta.

Me gustaría mostrar una razón muy simple por la que esto es así (y también señalar posibles generalizaciones)

En primer lugar, cualquier número complejo. $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = un + si yo$ , es bidimensional y cada parte (la parte real $a$ $a$ $un$ o la parte imaginaria $b i$ $b i$ $si yo$ ) pueden ser completamente independientes entre sí. Como resultado, un número complejo puede representar en forma condensada 2 números . Además, esto también significa que también se debe determinar un número complejo para determinar completamente cada una de las dimensiones .

Por otro lado, de cada número complejo $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = a + b i$ $z = un + si yo$ (junto con su complejo conjugado $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = a - b i$ $\bar{z} = un - si yo$ ), se pueden calcular 2 números reales ( $a$ $a$ $un$ , $b$ $b$ $si$ ) como:

un = (z + \bar{z}) / / 2

si = (z - \bar{z}) / / 2 yo

Ya que $a$ $a$ $un$ y $b$ $b$ $si$ pueden ser completamente independientes entre sí, por lo que pueden $z$ $z$ $z$ y $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ .

Existe una simetría completa de la representación (si se puede usar dicho término).

Esto significa que en QFT (por ejemplo), en lugar de hacer variaciones en el $a$ $a$ $un$ , $b$ $b$ $si$ campos reales, uno puede hacer variaciones equivalentes (por el mismo token) en el $z$ $z$ $z$ , $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ campos complejos, etc.

ACTUALIZAR:

Entrar un poco más en las matemáticas abstractas.

La conjugación compleja es (el natural) automorfismo del campo de los números complejos . Además, el complejo conjugado de un número complejo $z$ $z$ $z$ no puede derivarse de ninguna función analítica de $z$ $z$ $z$ (más o menos significa funciones racionales de $z$ $z$ $z$ y series de potencia). Esto hace que el complejo conjugado $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ candidato natural para tratar como campo separado.

Prueba: ¿Cuántos componentes se necesitan para calcular la velocidad? $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = d x / d t$ $v = re X / / re t$ de un objeto que tiene posición $x$ $x$ $X$ ¿Y pueden considerarse independientes? O en otras palabras, saber la posición $x$ $x$ $X$ (en un momento dado $t$ $t$ $t$ ), ¿podemos saber también la velocidad? $v$ $v$ $v$ (al mismo tiempo)

Gracias Nikos, me gusta esta perspectiva. Como una pregunta de seguimiento: una ecuación diferencial compleja general, como la ecuación de Schrodinger, es suficiente para definir las características evolutivas de un sistema. ¿Qué hace que la ecuación KG sea diferente? ¿Por qué se necesitan dos ecuaciones aquí, mientras que solo se necesita una para la ecuación de Schrodinger?
@BMS, un pequeño libro de texto sobre QFT relativista que tenía, dice, simplemente reproducen diferentes relaciones de energía-momento. La ecuación de Schrodinger reproduce la relación no relativista. $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $E = p^{2} / 2 m + V$ $mi = {pag}^{2} / / 2 metro + V$ mientras que Klein-Gordon reproduce lo relativista $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ $E^{2} = p^{2} + (m c^{2})^{2}$ ${mi}^{2} = {pag}^{2} + (metro C^{2})^{2}$ Esta ecuación es de segundo orden, por lo que significa que puede describir bosones (una forma simple de verlo son las condiciones que hacen que la energía total esté limitada), mientras que la ecuación de Dirac también reproduce la relación em relativista, pero en primer orden que limita la energía total adecuada para fermiones (teorema de estadísticas de espín et al.)

Max K. · Answer 3

Me gustaría hacer un comentario, que puede aclarar y simplificar un poco las cosas.

En el análisis complejo [véase, por ejemplo, `` Introducción al análisis complejo "de BV Shabat] por definición derivados sobre las variables complejas $z$ $z$ $z$ y $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ $\bar{z}$ son dados por:

def: \partial_{z} \equiv \frac{1}{2} (\partial_{un} - yo \partial_{si}) \partial_{\bar{z}} \equiv \frac{1}{2} (\partial_{un} + yo \partial_{si}),

dónde

a

a

un

y

b

b

si

representan partes reales e imaginarias de

z

z

z

correspondientemente. Las igualdades

\partial_{z} \bar{z} = 0 0 y \partial_{\bar{z}} z = 0 0

implica que las variaciones sobre z y

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

son independientes, mientras que las variables

z

z

z

y

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

\bar{z}

(siendo conjugados mutuamente complejos) no son independientes. No hay duplicación de los grados de libertad, pero uno puede variar sobre el campo y su conjugación considerándolos como independientes.

los conjugados son independientes en el sentido de que no existe una función analítica que los relacione. Además, para obtener los números reales subyacentes (posiblemente independientes) uno necesita ambos $z$ $z$ $z$ y su conjugado Esto los hace (funcionalmente) independientes. Uno no puede derivarse del otro analíticamente
@ Nikos M.: ¿Qué quiere decir cuando dice que uno necesita z y su conjugado si quiere obtener los números reales subyacentes? Si me dan un número complejo, ¿no será siempre una superposición de "1" e "i"?

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BMS

auxsvr

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Nikos M.

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Nikos M.

Max K.

Nikos M.

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