En el libro de materia condensada de Altland y Simons, se introducen integrales gaussianas complejas. Definición
y
, la integral compleja sobre
es
Estoy confundido acerca de cómo se usaría realmente la notación de la izquierda, tal como está. Parece que debe tener algún significado además de solo , o no debería tener sentido introducirlo.
Es posible romper la integral doble en dos integrales complejas individuales y hacerlo individualmente? Por ejemplo, si tuviéramos que escribir
En general, no entiendo qué objeto es. ¿Qué es y cómo nos integramos sobre él?
Las notaciones complejas
convención:
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J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1, 1998. Véase, por ejemplo, ec. (2.1.7).
R. Blumenhagen, D. Lust & S. Theisen, Conceptos básicos de la teoría de cuerdas, 2012. Véase, por ejemplo, la nota al pie de la página. 85.
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Tenga en cuenta que denota la variable conjugada compleja. No es una variable compleja independiente. En particular, la integración (1) ha terminado . no ha terminado . Consulte también, por ejemplo , esta publicación de Math.SE, esta publicación de Phys.SE y los enlaces que contiene.
Este problema surge a menudo en la teoría de campos conformes, cuando podemos estar interesados en la teoría de campos euclidiana pero analíticamente seguimos investigando. . Supongamos que tenemos coordenadas euclidianas reales y formar las coordenadas complejas,
Es fácil demostrar que la métrica , eso es, y . De esto podemos deducir que la medida para la integración es,
y por lo tanto hay un factor de dos diferencia entre y . podemos tratar y como totalmente independiente que luego nos extiende a . Devolver a , debemos hacer la identificación que , es decir, están relacionados por conjugación y no son independientes.
Tampoco me gusta esta notación, porque implica un significado que no está ahí.
Los autores definen
es literalmente el elemento de área del plano euclidiano. El ejemplo que nos ocupa del libro es
No hay dos variables complejas independientes en juego aquí. Una es la integración de funciones de vistas como funciones de .
Si tuviera que adivinar, diría que eligieron la notación porque puede parecer un poco extraño escribir, por ejemplo
Tal vez una elección de notación menos confusa sería indicando la integración sobre la parte real e imaginaria por separado.
qmecanico
Frobenius