Contradicción entre álgebra fermiónica y de Grassmann

Considere el operador numérico:

norte ^ = C † C
Dónde C † y C son operadores fermiónicos de creación y aniquilación. ahora si calculamos norte ^ 2 obtenemos:
norte ^ 2 = C † C C † C = C † ( 1 − C † C ) C = C † C = norte ^ .
Así que trabajando con operadores vemos que norte ^ 2 = norte ^ .

Por otro lado, si tenemos un hamiltoniano que contiene un término como norte ^ 2 podemos escribir la parte de la acción correspondiente a este término como:

norte 2 = ψ † ψ ψ † ψ = − ψ † ψ † ψ ψ = 0.
Entonces, de acuerdo con la representación de la integral de trayectoria, este término no contribuye a la dinámica del sistema. Mientras que en las repeticiones del operador. altera el potencial químico.

Entonces, ¿qué resuelve esta aparente contradicción entre estas dos representaciones?

PD: En lo anterior, los operadores fermiónicos y los campos de Grassmann tienen solo un componente. Puedes pensar en el contexto de la física de la materia condensada donde ψ es un fermión sin espín.

¿Podría tener que ver con el hecho de que ψ ¿No es un solo número de Grassmann, sino un espinor con múltiples componentes?
Edité la pregunta para hacer algunas aclaraciones. ψ no es un espinor de Dirac de 4 componentes ni un espinor de Weyl de 2 componentes. Es solo un campo que satisface el álgebra anticonmutación con un solo componente.
Si ese es el caso, entonces no lo haría ψ † ser una notación mejor, ya que los físicos de partículas suelen utilizar: ψ ¯ ≡ ψ † γ 0 ?
Lo siento, mi experiencia es en CMT. Editaré la notación.

Respuestas (2)

Al escribir una integral de trayectoria a partir de un hamiltoniano, se deben escribir todos los operadores en orden normal, ya que las variables de Grassmann corresponden a estados coherentes de los operadores fermiónicos de creación/aniquilación.

C ^ | ψ ⟩ = ψ | ψ ⟩ .

Por lo tanto, un término de interacción en el sitio para fermiones sin espín no juega ningún papel (hasta un cambio de potencial químico), tanto para la formulación de la integral de trayectoria como del operador.

Sin embargo, existe una interacción con el vecino más cercano, como

norte ^ i norte ^ j = C ^ i † C ^ i C ^ j † C ^ j = C ^ i † C ^ j † C ^ j C ^ i ,
dará lugar a
ψ i † ψ j † ψ j ψ i = ψ i † ψ i ψ j † ψ j .

Ahora que sé que no hay nada oculto con las matrices o los componentes, puedo decir que lo que te estás perdiendo es que estás haciendo el anticonmutador del campo fermiónico de forma incorrecta. El anticonmutador es:

{ ψ ( X ) , ψ † ( y ) } = d ( X − y ) .
Entonces, si hacemos:
ψ † ( X ) ψ ( X ) ψ † ( y ) ψ ( y ) = ψ † ( X ) [ d ( X − y ) − ψ † ( y ) ψ ( X ) ] ψ ( y ) = ψ † ( X ) ψ ( X ) d ( X − y ) .
La expresión es, obviamente, infinita cuando X = y , pero dejaré que el lector resuelva las consecuencias de eso.

Contradicción entre álgebra fermiónica y de Grassmann
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v