Horizonte de eventos de un agujero negro en rotación

El radio del horizonte de eventos de los agujeros negros es una superficie de corrimiento al rojo infinito (una superficie unidireccional donde las partículas nunca pueden escapar al infinito). Se puede calcular analíticamente (o al menos numéricamente) encontrando la raíz positiva (real) más grande del inverso del componente$g_{rr}$del tensor métrico, es decir, resolviendo

$$\frac{1}{g_{rr}}=0.$$

Es común definir el factor de ennegrecimiento como$f(r) = \frac{1}{g_{rr}}$(A veces se llama la función métrica). De esta forma, la ubicación del horizonte de sucesos se obtiene resolviendo$f(r)=0$y encontrar su raíz positiva más grande.

Ahora, considere la métrica del agujero negro de Kerr en las coordenadas de Boyer-Lindquist

$$\begin{align*} ds^2 = &-\left(1 - \frac{2GMr}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right) dt^2 + \left(\frac{r^2+a^2\cos^2(\theta)}{r^2-2GMr+a^2}\right) dr^2 + \left(r^2+a^2\cos(\theta)\right) d\theta^2\\ &+ \left(r^2+a^2+\frac{2GMra^2}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right)\sin^2(\theta) d\phi^2 - \left(\frac{4GMra\sin^2(\theta)}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}\right) d\phi\, dt, \end{align*}$$

dónde$a=J/M$es el parámetro Kerr (rotación). Resulta que tienes que resolver la siguiente ecuación

$$\frac{1}{g_{rr}}=\frac{r^2-2GMr+a^2}{r^2+a^2\cos^2(\theta)}=0 \to r^2-2GMr+a^2=0,$$

que puede tener dos raíces. La raíz positiva más grande es la ubicación del horizonte de eventos y se reduce al radio de Schwarzschild cuando$a=0$como el límite no giratorio.

El argumento anterior es válido para agujeros negros en fondos planos o anti-de Sitter. Pero, para el caso de los agujeros negros en el espacio de De Sitter (dS), se necesita más atención. En tales casos, la función métrica tiene una pendiente negativa en la raíz más grande, lo que implica una temperatura de Hawking negativa para los agujeros negros dS (que ciertamente no es una propiedad física). Entonces, para los agujeros negros dS, el radio del horizonte de eventos es la raíz positiva más grande. de la función métrica con pendiente positiva (lo que asegura que la temperatura de Hawking correspondiente sea definida positiva de acuerdo con las leyes de la termodinámica de agujeros negros).

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Algunos enlaces útiles sobre los agujeros negros de Kerr en Physics Stack Exchange:

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