¿Alguien que cae en un agujero negro ve el fin del universo?

Recomendaría evitar las coordenadas de Schwarzschild para este tipo de preguntas. Todos los infinitos clásicos (es decir, dejando de lado la paradoja del cortafuegos) que tienen que ver con el horizonte de sucesos se deben a malas elecciones de coordenadas. Desea utilizar un sistema de coordenadas que sea regular en el horizonte, como Kruskal-Szekeres . De hecho, eche un vistazo al diagrama de Kruskal-Szekeres:

(fuente: Wikipedia)

Esta es la geometría de Schwarschild extendida al máximo, no un agujero negro físico que se forma a partir del colapso estelar, pero las diferencias no deberían molestarnos en esta pregunta. Las regiones I y III son regiones asintóticamente planas, II es el interior del agujero negro y IV es un agujero blanco. Las hipérbolas en negrita en las regiones II y IV son las singularidades. Las diagonales que pasan por el origen son los horizontes de sucesos. El origen (realmente una esfera de 2 con coordenadas angulares suprimidas) es la garganta de un agujero de gusano no atravesable que une los "universos" separados I y III. Los rayos de luz radiales siguen siendo líneas diagonales de 45 grados en el diagrama de Kruskal-Szekeres. Las hipérbolas discontinuas son líneas de constante de Schwarzschild.$r$coordenadas, y los rayos radiales discontinuos son líneas de constante$t$. Puede ver cómo el horizonte de eventos se convierte en una singularidad coordinada donde$r$y$t$Cambiar roles.

Ahora bien, si dibuja una línea de mundo desde la región I que va a la región II, se vuelve obvio que cruza el horizonte en un tiempo propio finito y, lo que es más importante, el cono de luz pasado del evento donde golpea la singularidad no puede contener todo el espacio-tiempo. Así que la respuesta corta a tu pregunta es no , alguien que cae en un agujero negro no ve el fin del universo. No sé la fórmula que pides.$T$, pero en principio puede leerlo a partir de los rayos de luz en el diagrama y simplemente convertirlo a cualquier coordenada/hora adecuada que desee usar.

Esta es una reescritura de la respuesta de Michael Brown para ayudarme a aclarar mis pensamientos, y posiblemente para ayudar a todos los demás interesados ​​a aclarar sus pensamientos también :-) Michael presenta una respuesta muy simple a mi pregunta basada en la geometría del espacio-tiempo. alrededor del agujero negro.

El punto clave es que las coordenadas usuales de radio/tiempo de Schwarzschild no son útiles porque oscurecen lo que está pasando. Para sortear esto, usamos una transformación de coordenadas para dibujar el espacio-tiempo alrededor del agujero negro usando las coordenadas de Kruskal-Szekeres.$u$y$v$. Este es el resultado:

los$u$coordenada es horizontal y la$v$coordenada es vertical.

El problema con estas coordenadas es que son muy poco intuitivas. Un desplazamiento en$u$o$v$no corresponde a ninguna cantidad física simple, a diferencia de un desplazamiento en la coordenada radial habitual$r$o coordenada de tiempo$t$. Sin embargo, las coordenadas KS simplifican las cosas drásticamente de la siguiente manera:

En estas coordenadas constantes$r$es una hipérbola como lo muestra la línea discontinua. El horizonte de sucesos es la línea continua de 45°. Puedes pensar como$t$aumentando a medida que avanza hacia arriba, lo hace, aunque no de forma lineal. La singularidad es la hipérbola roja (este es un diagrama de espacio-tiempo, recuerde, por lo que la singularidad es una curva, no un punto). La región que he etiquetado$I$es el exterior del agujero negro y la región que he etiquetado$II$es la región dentro del horizonte de sucesos. Ignore la región del diagrama en la parte inferior izquierda ya que no es relevante para mi pregunta.

Finalmente, la característica clave que hace posible responder a mi pregunta es que todos los rayos de luz entrantes radiales son líneas rectas de 45° que van desde la parte inferior derecha hasta la parte superior izquierda. He dibujado varios rayos de luz como líneas magenta.

Ahora podemos responder a mi pregunta. Comenzamos con un cohete flotando a una distancia constante del agujero negro, que está representado por la hipérbola discontinua negra de constante$r$(como mencioné anteriormente, puedes pensar en aumentar el tiempo a medida que avanzas). En el momento$t_0$nuestro observador abandona el cohete y comienza a caer hacia el agujero negro. La línea azul muestra la trayectoria seguida por el observador. El observador golpea la singularidad en el punto donde se encuentran las líneas azul y roja.

En el momento$t_1$el cohete emite un rayo de luz hacia el observador que cae. El rayo de luz, que viaja a 45°, alcanza al observador antes de que cruce el horizonte de sucesos, hasta ahora todo bien. En el momento$t_2$el cohete arroja un segundo rayo de luz al observador, y este rayo de luz llega al observador justo cuando golpean la singularidad. En el momento$t_3$el cohete emite un tercer rayo de luz en el agujero negro, pero este no llega al observador porque el observador ya ha golpeado la singularidad y ya no existe. Eso significa que el observador nunca ve el rayo de luz liberado en el momento$t_3$. El observador ve cualquier rayo de luz liberado entre$t_0$y$t_2$, pero no ve ningún rayo de luz liberado después$t_2$. Entonces, la línea magenta discontinua marca el límite entre los rayos de luz que el observador puede ver y los que no.

Y ahí está la respuesta a mi pregunta. El observador no ve el final del universo porque el último rayo de luz que ve es el que se libera en el momento$t_2$.

Esto no me da una manera fácil de calcular el valor de$t_2$, porque tendría que derivar una expresión para la trayectoria del observador que cae (línea azul) y eso es difícil. Sin embargo se muestra que$t_2$es finito entonces, usando la notación en mi pregunta,$T$está ligado.

La respuesta actualmente aceptada elude la pregunta sobre cómo calcular qué eventos se pueden ver realmente usando las coordenadas de Schwarzschild. Es posible encontrar una respuesta a esta pregunta utilizando las coordenadas de Schwarzschild, tanto numérica como analíticamente. La respuesta, por supuesto, es que el cono de luz pasado para el caso límite no abarca todo el universo fuera del agujero negro y que hay un tiempo finito disponible para señalar a un objeto que cae (incluso en las coordenadas de Schwarzschild), eso depende de dónde esté el se liberó del observador que caía.

Hay dos problemas separados, cada uno con dos casos separados. El primero es averiguar si la luz intercepta a un observador que cae antes de que alcance el horizonte de sucesos. Sin embargo, se debe realizar una pequeña corrección adicional para determinar si una señal de luz aún puede interceptar a un observador que cae después de que cruce el horizonte de eventos pero antes de que alcance la singularidad.

1. Si la luz puede interceptar un objeto antes de que alcance el horizonte de sucesos

(a) Objeto que cae desde el infinito

Comienzo con un observador en un radio$r_0$(todos los radios se expresan como múltiplos del radio de Schwarzschild$r_s$). El observador se pasa en el tiempo$t_0$(en coordenadas de Schwarzschild, que es igual a$\tau =0$según el propio reloj del observador), por un objeto que cae radialmente hacia el agujero negro desde el infinito (donde comenzó en reposo). En algún momento$\Delta t$más tarde, el observador dispara un rayo láser radialmente hacia adentro. El problema es sacar el máximo$\Delta t$que interceptará el objeto que cae y luego lo convertirá en un$\Delta \tau$en términos de tiempo propio según el observador. Que debe haber un máximo$\Delta t$y$\Delta \tau$se establece conceptualmente fácilmente considerando (por ejemplo) las coordenadas de Kruskal-Szekeres.

La geodésica nula (en coordenadas de Schwarzschild) que sigue la luz que viaja hacia el interior (en$c=1$unidades) es:

La geodésica seguida por un cuerpo liberado en reposo desde el infinito es (p. ej., consulte la ecuación 25.38 en la sección "Órbitas de partículas" de "Gravitación" de Misner, Thorne & Wheeler, 2017, Princeton University press)

Al trazar estas geodésicas y usar un método de bisección para determinar cuándo y si se cruzan, pude determinar el máximo $\Delta t$($T$en el OP, aunque comencé mi objeto en caída libre desde el infinito) que aún permite que la luz intercepte el objeto que cae en función de dónde se emite esa luz. El resultado parece estable a la reducción de la tolerancia (usé$10^{-14}r_s$).

A continuación se muestra un ejemplo del caso límite. La curva roja es la geodésica ligera, mientras que la curva azul muestra la geodésica de un objeto que cae desde el infinito y pasa (en este caso)$5.8r_s$a$t=0$. Solo los eventos por debajo de la curva roja pueden ser vistos por un observador que cae.

Luego "derivé" esta curva analíticamente. Reordenando la ecuación (1) podemos escribir

Reordenando la ecuación (2) de manera similar, obtenemos

Si hay un punto de intercepción o no está determinado por si la relación de las ecuaciones (4) y (5) es menor que 1 como$t \rightarrow \infty$.

Para convertir esto en un intervalo de tiempo máximo adecuado$\Delta \tau$desde el punto de vista del observador, el resultado se multiplicaría por$(1 - r_s/r_0)^{1/2}$.

(b) Objeto que cae desde el reposo en$t_0, r_0$

Ahora la configuración es que el observador suelta el objeto de$t_0, r_0$, luego espera un intervalo de tiempo (coordenadas)$\Delta t$antes de señalizar.

La ecuación (1) sigue siendo válida en este escenario, sin embargo, la ecuación (2) debe reemplazarse por la siguiente geodésica para un objeto en caída libre desde el reposo en$t_0, r_0$.

Como$r \rightarrow r_s$, el primer término de la ecuación (6) crece exponencialmente mientras que el segundo término, que definiré como$b(r)/r_s$, tiende a una constante:

Usando la identidad que$\tan \eta/2 = \sin \eta/(1 + \cos \eta)$, después

Para encontrar la limitante$\Delta t$para el cual un haz de luz del observador "atrapa" el objeto que cae, tomamos la relación de las ecuaciones 4 y 7, establecemos$b=b_{\rm rs}$y exigir que sea menor que 1. Esto produce

El resultado se representa a continuación como la curva roja (y he confirmado que es correcto usando un método de bisección numérica) y se compara con el caso 1 con el objeto en caída libre desde el infinito (curva azul, como en la primera imagen). Como era de esperar lo permitido$\Delta t$es mayor cuando el objeto se suelta desde el reposo.

Como antes, este resultado es el máximo intervalo de tiempo de coordenadas de Schwarzschild. Debe ser reducido por el factor de dilatación del tiempo apropiado$(1-r_s/r_0)^{1/2}$para producir el máximo intervalo de tiempo apropiado.

A continuación se muestra un ejemplo del caso límite. La curva roja es la geodésica de la luz, la curva azul es la geodésica del objeto que cae. Solo los eventos debajo de la curva roja (que asíntota a un gradiente de -1) pueden ser "vistos" por un objeto que cae en un agujero negro desde el reposo, desde (en este caso) aproximadamente$5.8r_s$.

2. Si la luz puede interceptar un objeto antes de que alcance la singularidad

La respuesta anterior proporciona el tiempo de demora máximo (coordenadas) para que una señal de un observador estacionario alcance un objeto que cae antes de que alcance el horizonte de eventos ,$(\Delta t)_{\rm EH}$. Pero eso no responde por completo a la pregunta (del titular), porque el objeto aún puede recibir luz durante el tiempo que tarda en alcanzar la singularidad después de cruzar el horizonte de sucesos. Esto se ve más claramente en las coordenadas de Kruskal-Szekeres, pero nuevamente es posible resolver esto (con bastante facilidad) en las coordenadas de Schwarzschild.

La condición aquí es que el tiempo de las coordenadas de la geodésica de luz retrasada debe ser menor o igual al tiempo de las coordenadas de la geodésica del objeto que cae en$r=0$.

Esta condición es bastante fácil de encontrar. Para el caso del objeto en caída libre desde el infinito, las ecuaciones (1-3) muestran que el original$\Delta t$que derivé debe incrementarse como

Para el caso de un objeto que cae desde el reposo, vemos que$\eta = \pi$a$r=0$, de modo que si la coordenada de tiempo es menor o igual a la coordenada de tiempo del objeto en$r=0$se obtiene de las ecuaciones (1) y (6) como

La siguiente trama debería aclarar las cosas. Muestra las geodésicas a ambos lados o$r_s$en el caso de que un objeto caiga de$r=2r_s$a$t=0$. La geodésica ligera en rojo es la calculada de modo que intercepta el objeto justo como$r \rightarrow r_{s}$y tiene$(\Delta t)_{\rm EH} = 3.834 r_s/c$. Pero vemos que esta geodésica "alcanza" al objeto que cae antes de que alcance la singularidad en$r=0$. Sin embargo, la geodésica de luz verde, con$(\Delta t)_{\rm singularity} = 4.283 r_s/c$intercepta el objeto geodésico exactamente$r=0$.

Estoy de acuerdo en que para un espacio-tiempo que es exactamente Schwarzschild, el observador que cae no ve la historia completa del universo. Sin embargo, este no es el caso genérico que cabría esperar de un agujero negro astrofísico, que se formó a partir del colapso de una distribución de materia aproximadamente esférica. En realidad, este tema se está investigando activamente, y hay algunos resultados muy interesantes sobre cómo se ve realmente el interior de un agujero negro. Véase, por ejemplo, este artículo reciente .

La razón por la que en Schwarzschild el observador que cae no ve la historia completa del universo es que la singularidad es similar al espacio. Esto significa que hay un rango de puntos donde el observador que cae puede golpear la singularidad, y cada punto solo puede ver una parte del universo en su pasado causal.

Pero la gente ha sabido durante mucho tiempo de otros tipos de agujeros negros que no comparten este comportamiento. Los ejemplos más conocidos son la solución de Reissner-Nordstrom para un agujero negro con simetría esférica cargada y la solución de Kerr para un agujero negro giratorio. Ambos tienen singularidades temporales y, por lo tanto, la situación es bastante diferente . Aquí hay un diagrama causal de un agujero negro de Reissner-Norstrom:

Las líneas irregulares verticales representan las singularidades temporales de este agujero negro. En este caso, es posible evitar la singularidad y emerger a un nuevo universo que podría adjuntar a la parte superior de esta imagen. En este caso, cuando cruzas el horizonte interior, deberías poder mirar hacia atrás y ver toda la historia o el universo.

Sin embargo, esto trae a colación un punto problemático. El observador pasa el horizonte interior en un tiempo propio finito, pero es capaz de ver toda la luz que entra en el agujero negro de toda la historia infinita del universo. Dado que la luz tiene energía, se podría pensar que esta acumulación de radiación del universo exterior debería dar lugar a una gran curvatura, y de hecho lo hace. Esto se conoce como inestabilidad de inflación masiva del agujero negro. Los agujeros negros de Kerr comparten esta característica, aunque la estructura de la singularidad en ese caso es más complicada.

Entonces, para los agujeros negros genéricos que no son exactamente Schwarzschild, se espera un comportamiento diferente. Las perturbaciones tienden a cambiar la singularidad de ser espacial a comportarse como una superficie nula, es decir, siguiendo las trayectorias de la luz. Una imagen del documento anterior muestra esta situación:

El universo exterior vive en el triángulo inferior derecho de esta imagen. Las líneas etiquetadas$\mathcal{CH}^+$son las singularidades nulas. El documento encontró que esta situación resultó de perturbar la solución de Schwarzschild con materia de campo escalar. En este caso, si caes en el agujero negro desde el exterior del universo, te toparías con las singularidades nulas, y suponiendo que golpees la de la derecha, verás toda la historia completa del universo, en el sentido de que todo eso tendrá acceso a la luz que ingresa al agujero negro desde tiempos arbitrariamente tardíos de la historia del universo.

(La respuesta de Michael Brown es la respuesta correcta y esto es simplemente para ampliar a través de un diagrama adicional).

A continuación se muestra la figura 31.4 de la página 835 de Gravitation (MTW).

Ambos diagramas son de la geometría de Schwarzschild. Tenga en cuenta que en las coordenadas de Kruskal-Szekeres, los conos de luz aparecen como lo hacen en el espacio-tiempo de Minkowski.

Como señala Michael, las geodésicas radiales similares a la luz son líneas de 45 grados, como se puede ver al observar la geodésica B.

Claramente, hay líneas de mundo similares a la luz que cruzan el horizonte después de algunas líneas de mundo similares al tiempo, por lo que la línea de mundo de un astronauta que cae radialmente hacia el agujero no se cruza con todas las líneas de mundo radiales similares a la luz antes de cruzar el horizonte.

Además, está claro que hay líneas de mundo similares a la luz que terminan en la singularidad después de algunas líneas de mundo similares al tiempo.

Así, el astronauta no ve el futuro infinito antes de cruzar el horizonte o encontrarse con la singularidad.

Además, y esta es solo una nota al margen interesante para considerar, la solución de Schwarzschild es la solución estática esféricamente simétrica (bueno, al menos fuera del horizonte) para las ecuaciones de Einstein. En otras palabras, no hay un "fin del universo" en esta solución .

Inspirado por una pregunta similar , he estado trabajando en este tema al mismo tiempo que Rob Jeffries. Irritantemente, se me adelantó; pero como utilizo un enfoque ligeramente diferente y como no quiero que mis esfuerzos sean en vano, publicaré mi propia derivación. Si nada más, sirve como una confirmación de su fantástica respuesta :)

Comencemos indicando las coordenadas Kruskal-Szekeres (región I)

Como es bien sabido, en estas coordenadas las geodésicas de los rayos de luz que inciden radialmente son líneas rectas en$-45^\circ$anglos. De hecho, si conectamos$u + v= k$en las ecuaciones, con$k$una constante, entonces de$u^2 - v^2 = f(r)^2$encontramos$k(u -v) = f(r)^2$, de modo que

Ahora, supongamos que tenemos un objeto que cae radialmente, que comienza en reposo en una posición$r_0$a$t=0$. ¿Qué fotones que caen radialmente alcanzarán el objeto antes de que cruce el horizonte de sucesos? Para responder a esto, intentaremos derivar la geodésica de un fotón que incide radialmente de modo que alcanza al objeto justo en el horizonte de sucesos.

La geodésica de un objeto que cae radialmente se puede escribir en la forma (Misner, Thorne & Wheeler Eq. (31.10), Pag. 824)

Hice un gráfico para visualizar los resultados, en coordenadas de Schwarzschild y Kruskal-Szekeres:

La curva azul es la geodésica de un objeto, en reposo en$t=0$(aquí,$r_0 = 2r_\text{s}$). La curva naranja es la geodésica de un fotón que está en la posición$r_0$a$t=0$. La curva roja es la geodésica que derivé en esta publicación. Comienza en la posición$r_\text{b}$a$t=0$y se pone al día con el objeto justo en el horizonte de sucesos. Las geodésicas de fotones que se encuentran entre las curvas naranja y roja (he trazado dos, las curvas discontinuas) alcanzarán al objeto, las geodésicas más allá de la curva roja no lo harán.

Para agregar a las excelentes respuestas anteriores, aquí hay un diagrama de espacio-tiempo en coordenadas Gullstrand-Painleve o "lluvia". Esto es del magnífico y accesible libro Exploring Black Holes (2000) de Taylor & Wheeler,$\S B.6$. Su metáfora "lluvia" significa una partícula de prueba con masa, que inicialmente cayó desde el reposo lejos del agujero negro. Piense en ellos como astronautas/observadores, para este problema.

$t_\textrm{rain}$es el tiempo propio de una gota de lluvia, que se utiliza como coordenada.$r$es la coordenada de curvatura habitual como en las coordenadas de Schwarzschild [-Droste], y$M$es la masa del agujero negro. El diagrama muestra que la mayoría de los "pulsos de luz" nunca alcanzan un "émbolo de lluvia" dado; en particular, no verán el fin del universo.

No. El agujero negro se evaporará por completo en un tiempo finito, por lo que al final del universo ya no existirá.

Su pregunta se debe a cierta confusión con el concepto de espacio-tiempo de un agujero negro. Debes distinguir entre tu sistema de coordenadas y lo que ves. Ambos son conceptos diferentes: un ejemplo simple es un espacio de Minkowski: si un diagrama de Minkowski representa sus coordenadas, obtiene una vista de cuatro dimensiones de todo el espacio-tiempo. En contraste, lo que ves son elementos que están ubicados en tu cono de luz que se muestra en el pasado.

Cerca de un agujero negro debemos aplicar la misma distinción de este concepto doble que se puede mostrar en el siguiente diagrama de Kruskal, con una partícula A que cae y una partícula que permanece fuera de B:

Las coordenadas de tiempo de un observador lejano están indicadas por las líneas que pasan por el centro: t = 0, t = 1, t = 2, limitadas por el horizonte de eventos donde t =$\infty$. De acuerdo con estas coordenadas de tiempo, la partícula que cae nunca alcanzará el horizonte. Y a la inversa, cuando A se acerca al horizonte, el reloj de un observador externo se acercará al final de los tiempos.

Tal vez esta es la razón por la que hizo su pregunta. Pero su pregunta no es: cuál es la posición con respecto a las coordenadas de un observador externo, sino: qué ve la partícula que cae, y para esta pregunta debe referirse (como se muestra en otras respuestas) al pequeño 45 °- flechas entre las partículas que se comunican A y B. Las 3 flechas diagonales desde abajo hacia la izquierda muestran que B está en un punto determinado cuando A toca el horizonte de eventos.