Para una masa dada, ¿qué tan grande puede llegar a ser un agujero negro de Kerr?

La geometría dentro de un agujero negro de Kerr es bastante loca. La singularidad del anillo no tiene un "radio" (o "diámetro") adecuado, ni ningún otro círculo concéntrico en el plano ecuatorial. Sin embargo, un círculo concéntrico en el plano ecuatorial (de ahora en adelante simplemente llamado "círculo") tiene una circunferencia propia . La singularidad del anillo en sí no lo hace, pero otros círculos sí, por lo que podemos elegir algún otro círculo especial y usar su circunferencia adecuada para caracterizar el "tamaño" del agujero negro.

Por circunferencia adecuada , me refiero a la distancia adecuada (independiente de las coordenadas) alrededor de la circunferencia del círculo, calculada utilizando la métrica del espacio-tiempo. De ahora en adelante, "circunferencia" significa circunferencia propiamente dicha.

Con eso en mente, aquí hay una forma de responder la pregunta. Dejar$G$y$c$ser la constante de Newton y la velocidad de la luz, respectivamente. Para cualquier agujero negro de Kerr con masa total$M$, el apéndice muestra que el horizonte de eventos tiene una circunferencia$K_\text{horizon}$dada por

$$K_\text{horizon}=\frac{4\pi GM}{c^2} \tag{1}$$ en el plano ecuatorial, independientemente de qué tan rápido esté girando el agujero negro, con una advertencia: si está girando demasiado rápido, entonces no tiene un horizonte de eventos en absoluto. Pero mientras su momento angular$J$satisface la desigualdad $$J<\frac{GM^2}{c}, \tag{2}$$ entonces un horizonte de eventos está presente, y su circunferencia ecuatorial$K$viene dada por la ecuación (1).

Podríamos preferir una noción de "tamaño" que dependa de qué tan rápido gira el agujero negro. Hay algunas opciones naturales. Aquí describiré uno que tiene un espíritu relativamente similar al solicitado en el OP, y también destaca cuán loca es la geometría dentro de un agujero negro de Kerr.

Considere la familia continua de círculos concéntricos en el plano ecuatorial, comenzando con el horizonte uniforme (externo) y progresando hacia el interior hacia la singularidad del anillo. Cuatro de estos círculos se representan aquí:

Sorprendentemente, la circunferencia propia alcanza un valor mínimo en un círculo intermedio, que se muestra aquí como círculo$2$. La circunferencia aumenta cuando se aleja del centro o se acerca al centro. En particular, la circunferencia del horizonte exterior (círculo$1$) es igual a la circunferencia del horizonte interior (círculo$3$). Continuando hacia adentro hacia la singularidad del anillo, la circunferencia continúa aumentando , volviéndose "infinita" (indefinida) en la singularidad del anillo (círculo$4$). La circunferencia mínima$K_\text{min}$(círculo$2$) depende tanto de la masa como del giro del agujero negro, a diferencia de la circunferencia ecuatorial de cualquier horizonte de eventos (círculos$1$o$3$), que depende únicamente de la masa. Para una masa dada$M$y un momento angular dado$J\geq 0$satisfaciendo la desigualdad (2), la circunferencia mínima es

$$K_\text{min}=2\pi\sqrt{a^2+3(ma^2)^{2/3}} \tag{3}$$ donde las cantidades$m$y$a$, los cuales tienen unidades de longitud, están definidos por $$m=\frac{GM}{c^2} \hskip2cm a=\frac{J}{Mc}. \tag{4}$$ En términos de estas cantidades, la desigualdad (2) es $$a < m. \tag{5}$$ El círculo con la circunferencia mínima (3) está oculto detrás del horizonte de eventos exterior, pero aún podemos usarlo para caracterizar el tamaño del agujero negro. En el caso no giratorio ($a\to 0$), la circunferencia mínima (3) se reduce a cero, pero la circunferencia del horizonte de eventos (1) permanece igual. En este sentido, la circunferencia mínima$K_\text{min}$es un mejor proxy para el tamaño (indefinido) de la singularidad del anillo.

Si usamos la circunferencia mínima (3) para caracterizar el tamaño del agujero negro, entonces la pregunta se puede interpretar así: Para un agujero negro de Kerr con una masa dada$M$, ¿cuán grande puede ser la circunferencia mínima$K_\text{min}$¿ser? La respuesta es

$$\text{max}(K_\text{min})=4\pi\frac{GM}{c^2}, \tag{6}$$ que se obtiene de (3) ajustando el giro a su valor máximo$a=m$(un agujero negro extremo de Kerr ), el caso límite entre un agujero negro y una singularidad desnuda. La circunferencia (6) es la misma que (1), por lo que el "tamaño" máximo del agujero negro es el mismo usando cualquiera de estas dos definiciones de "tamaño". Cuantitativamente, para un agujero negro con masa$M=25\times$la masa del sol, esta circunferencia es $$K\approx 466\text{ km}.$$ Si usamos esto para definir un "diámetro"$D$por$D=K/\pi$, entonces el "diámetro" sería$D\approx 148$kilómetros

¿La forma del anillo se debe a la fuerza centrífuga?

Dado que la métrica del espacio-tiempo no está definida en la singularidad del anillo, esta pregunta realmente no tiene una respuesta directa. La métrica del agujero negro de Kerr es una solución axialmente simétrica de la ecuación de campo de Einstein con una masa y un momento angular dados, suponiendo que el espacio-tiempo está vacío siempre que la métrica esté bien definida.

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Apéndice: derivación de las ecuaciones (1) y (3)

Comenzaré con la métrica de Kerr en coordenadas de Kerr-Schild $t,x,y,z$, que se muestra en la ecuación (32) en "El espacio-tiempo de Kerr: una breve introducción" ( https://arxiv.org/abs/0706.0622 ). El plano ecuatorial es el plano definido por$t=z=0$. En este plano, la métrica se reduce a

$$ds^2=dx^2+dy^2+\frac{2m}{r}\left( \frac{r}{a^2+r^2}(x\,dx+y\,dy) + \frac{a}{a^2+r^2}(y\,dx-x\,dy) \right)^2 \tag{A.1}$$ dónde$s$es la distancia adecuada y donde la función$r(x,y)$es definido por $$r^2 = x^2+y^2-a^2. \tag{A.2}$$ Si definimos nuevas coordenadas$\rho,\phi$por $$x=\rho\cos\phi \hskip2cm y = \rho\sin\phi, \tag{A.3}$$ entonces la métrica (A.1) se convierte en $$ds^2=d\rho^2+\rho^2 d\phi^2+\frac{2m}{r}\left( \frac{r}{\rho}\,d\rho + a\,d\phi \right)^2 \tag{A.4}$$ y la funcion$r$ahora está dado por $$r^2 = \rho^2-a^2.$$ Un círculo centrado en el eje de simetría tiene$d\rho=0$, por lo que la distancia adecuada a lo largo de dicho círculo está dada por $$ds^2 =\left(\rho^2+\frac{2ma^2}{r}\right)d\phi^2 =\left(a^2+r^2+\frac{2ma^2}{r}\right)d\phi^2. \tag{A.5}$$ Para un círculo con un valor dado de$\rho$, la circunferencia adecuada$K$se calcula integrando la distancia adecuada$s$en el rango$0\leq\phi<2\pi$, lo que da $$K = 2\pi\sqrt{a^2+r^2+\frac{2ma^2}{r}}. \tag{A.6}$$ El valor mínimo de$K$corresponde al valor de$r$que satisface $$\frac{d}{dr}\left(r^2+\frac{2ma^2}{r}\right)=0, \tag{A.7}$$ a saber$r=(ma^2)^{1/3}$. Usando esto en (A.6) da la expresión (3) para la circunferencia mínima.

El agujero negro de Kerr tiene dos horizontes de sucesos , un horizonte exterior y un horizonte interior, correspondientes a estos dos valores de$r$:

$$r_\pm =m\pm\sqrt{m^2-a^2}. \tag{A.8}$$ Estos satisfacen $$r_+ r_-=a^2 \tag{A.9}$$ lo que implica $$\frac{r_+}{a}=\frac{a}{r_-}. \tag{A.10)}$$ Esta relación junto con la identidad $$a^2+r_\pm^2 = 2mr_\pm \tag{A.11}$$ puede usarse en (A.6) para mostrar que las circunferencias correspondientes vienen dadas por la ecuación (1). En particular, los horizontes de sucesos interior y exterior tienen la misma circunferencia propia en el plano ecuatorial. El círculo con la circunferencia mínima (3) está intercalado entre estos dos horizontes de eventos.

La circunferencia métrica en unidades naturales de GM/c² es

$$2 \pi \sqrt{|g_{\phi \phi}|} = 2 \pi \sqrt{| \rm \frac{a^2 \sin ^4 \theta \left(a^2+r^2-2 r+\mho ^2\right)-\left(a^2+r^2\right)^2 \sin ^2 \theta }{a^2 \cos ^2 \theta+r^2}|}$$

donde a=Jc/G/M² es el parámetro de espín adimensional y ℧=Q/M·√(K/G), por lo que en el plano ecuatorial en θ=π/2 obtenemos

$$2 \pi \sqrt{|g_{\phi \phi}|} = 2 \pi \sqrt{| \rm \frac{\left(a^2+r^2\right)^2-a^2 \left(a^2+r^2-2 r+\mho ^2\right)}{r^2}|}$$

que es infinito en el límite cuando r tiende a 0 (el radio de coordenadas de Boyer Lindquist de la singularidad). El radio cartesiano es

$$\rm R = \sqrt{\Sigma} = \sqrt{r^2+a^2 \cos^2 \theta}$$

que es exactamente aGM/c² en el plano ecuatorial, para ver un gráfico de superficie aquí .