¿Es un agujero negro un agujero 3D? ¿Y no entra en la 4ª dimensión?

Para ampliar un poco las respuestas de los demás, un par de formas de visualizar/comprender la diferencia entre la curvatura intrínseca y extrínseca:

La curvatura intrínseca , como sugiere el nombre, solo se ocupa de cosas que se encuentran dentro de una superficie/espacio/variedad, etc. (Usaré el término variedad)

Si sus líneas, triángulos, etc. no funcionan de la misma manera que en la geometría euclidiana, entonces se trata de una curvatura intrínseca.

Un ejemplo de curvatura intrínseca: tome un objeto esférico y tome un bolígrafo. Designe un polo en la esfera y el ecuador asociado. Tome un punto arbitrario en el ecuador y dibuje una línea a lo largo del gran círculo que conecta ese punto con el polo, luego gire 90° y continúe la línea que acaba de dibujar a lo largo del gran círculo designado por su nueva dirección, hasta llegar al ecuador. de nuevo. ¡Ahora conecta los dos puntos en el ecuador por una línea a lo largo del ecuador!

Lo que tienes es un "triángulo" en la esfera, cuyos lados son círculos máximos de la esfera, y la suma total de los ángulos internos es 270°. Esto definitivamente no es euclidiano, y esto significa que la esfera tiene una curvatura intrínseca.

Por supuesto, la esfera también tiene una curvatura extrínseca, pero tenga en cuenta que un "matemático plano" que viva en la superficie esférica no podrá ver cómo se dobla la esfera en 3D, ya que ni siquiera percibiría 3D. Sin embargo, aún sería capaz de medir ángulos, por lo que aún llegaría a la conclusión de que este triángulo tiene una suma de ángulos internos de 270° y, por lo tanto, vive en un espacio curvo.

(Haré notar, sin prueba, que las geodésicas , también conocidas como las curvas más cortas posibles que conectan dos puntos, en una esfera son siempre los grandes círculos, lo que significa que el triángulo descrito anteriormente en realidad tiene lados "rectos". El matemático plano los percibiría como derecho.)

La curvatura extrínseca , por otro lado, mide cómo una variedad se dobla en una variedad de dimensiones superiores en la que está incrustada. Realmente no tiene sentido considerar si nuestro espacio-tiempo está incrustado en un espacio-tiempo de mayor dimensión o no, ya que incluso si lo estuviera, no podríamos medirlo.

Un ejemplo de una superficie con curvatura extrínseca, pero no intrínseca: si tomas una hoja de papel y la enrollas en un cilindro, entonces obviamente tu cilindro tiene curvatura, pero si realizas experimentos, como el que describí con la esfera, verá que todo en el cilindro funciona exactamente como lo espera.

Por ejemplo, si dibuja algo en el plano y lo enrolla en un cilindro, su dibujo no se distorsionará.

Por otro lado, si dibujas algo en un plano y arrugas el plano en una esfera (¡también ten en cuenta que no puedes hacer eso sin rasgar o deformar el papel! Esta es exactamente la razón por la que los mapas de la Tierra se ven divertidos, cuando el mapa es plano, y no un globo terráqueo), entonces su dibujo terminaría con distancias y ángulos distorsionados.

Algunas matemáticas (pero solo en palabras) :

En relatividad general, la curvatura del espacio-tiempo es la curvatura intrínseca. No se le puede asociar ninguna noción habitual de curvatura con los pies en la tierra. Esta curvatura está representada matemáticamente por un campo tensorial llamado tensor de curvatura de Riemann , en la notación de los físicos, generalmente con el aspecto de$R^a_{\ \ bcd}$.

No daré una forma explícita del tensor de curvatura de Riemann, pero diré que puede construir el tensor de curvatura de múltiples maneras, una de ellas es una medida de la desviación de la geodésica (las curvas más rectas posibles mencionadas anteriormente), lo que significa que mide cómo las geodésicas inicialmente paralelas se separan (o convergen entre sí) a medida que avanza a lo largo de ellas. No es difícil convencerse de que esta es una buena manera de medir la curvatura intrínseca, ya que en el espacio euclidiano, las líneas rectas inicialmente paralelas siempre serán paralelas.

No significa que la curvatura extrínseca no tenga lugar en la relatividad general, pero está presente solo en algunos formalismos más avanzados, e incluso allí no es la curvatura extrínseca del espacio-tiempo, sino la curvatura extrínseca de las hipersuperficies incrustadas en el espacio-tiempo.

Hablando matemáticamente, la curvatura extrínseca mide que si tiene un campo vectorial que es tangente a la hipersuperficie en todas partes, y diferencia este campo vectorial también en una dirección tangencial, entonces cuánto del campo vectorial resultante es normal a la superficie. Obviamente, esto requiere un espacio ambiental para existir, de lo contrario no hay sensación de "normalidad".

Espero que esto haya ayudado.

Un agujero negro es un objeto 4D, pero eso se debe a que todos los objetos son 4D ya que viven en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones: tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal.

Sin embargo, lo que sospecho que está preguntando es si tiene que haber una dimensión espacial adicional para que el espacio se doble, haciendo cinco dimensiones en total. Si es así, entonces la respuesta es que no, no hay ninguna dimensión adicional.

Las imágenes que ha visto de los modelos de láminas de goma para el espacio-tiempo modelan la curvatura como extrínseca. Hay una definición precisa de curvatura extrínseca , pero para nuestros propósitos, la curvatura extrínseca es la curvatura en otra dimensión fuera de lo que sea que estés curvando. Así que la hoja de goma 2D se deforma en una tercera dimensión.

Sin embargo, en la relatividad general la curvatura es intrínseca . Esto es difícil de visualizar, pero suponga que dejó la lámina de goma plana, pero la estiró en una dirección que se encuentra en el plano de la lámina. Esta es la curvatura intrínseca. Discuto esto en mi respuesta a que el Universo es plano y ¿por qué no podemos ver o acceder al espacio "detrás" de nuestro plano universal? , y hay una discusión relacionada en ¿En qué se está 'expandiendo' el universo? .

Un agujero negro se forma por la curvatura intrínseca del espacio-tiempo de cuatro dimensiones (recuerde que curva tanto el tiempo como el espacio, que si ha visto Interstellar es lo que causó la dilatación del tiempo para los astronautas cerca del agujero negro). Así que no hay una quinta dimensión adicional asociada con ella.

¿Es un agujero negro un agujero 3D?

Creo que sí. Algunas personas dirán que no es realmente un agujero, pero creo que lo es. Eso es porque creo que la interpretación de "estrella congelada" es la correcta. Puede ver una mención de eso en el artículo de Kevin Brown The Formation and Growth of Black Holes . Él no lo favorece, muchas personas no lo saben, y otros tal vez lo odien, pero espero que eso cambie. De todos modos, también creo que es algo así como el gravastar que presenta un "vacío en el tejido del espacio y el tiempo". Eche un vistazo al gif en el artículo del agujero negro de Wikipedia . La imagen original fue del cosmólogo parisino Alain Riazuelo. Parece un agujero de bala en un coche negro.

¿Y no entra en la 4ª dimensión?

No. Simplemente atrae cosas hacia él, en las dimensiones espaciales 3D ordinarias. Porque tiene un campo gravitatorio. Sin embargo, lo interesante es que las analogías como la hoja de goma están al revés. ¿ Ves el tensor tensión-energía-momento ? Tenga en cuenta la diagonal de presión de energía? Eso es presión , no tensión. Para mejorar la analogía de la hoja de goma, reemplaza la hoja con un sólido, un bulto. Y luego, en lugar de empujarlo hacia adentro como en la imagen de aquí a la derecha , lo empuja hacia afuera. Luego, para evitar confundirse con la curvatura de la Tierra/estrella/etc., acerca el zoom, así:

Entonces, lo que puede ver es lo que se llama curvatura de Ricci , en la que un volumen se desvía de la norma del espacio euclidiano. Tenga en cuenta que el espacio en sí no es curvo. El espacio-tiempo es curvo, pero el espacio no lo es, véase Baez refiriéndose a que: "Del mismo modo, en la relatividad general, la gravedad no es realmente una 'fuerza', sino solo una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo. Nota: no la curvatura del espacio, sino de espacio-tiempo. La distinción es crucial". .

Entonces, ¿eso significa que un cuerpo en un mundo 3-D deforma el espacio en 4-D?

No. Véase el Discurso de Leyden de Einstein . Una concentración de energía bajo la apariencia de un cuerpo masivo "condiciona" el espacio circundante, alterando sus propiedades métricas, de modo que un campo gravitatorio es un lugar donde el espacio "no es ni homogéneo ni isotrópico" . Luego, "describimos su estado" usando diez funciones que comúnmente se conocen como tensor métrico o simplemente espacio-tiempo curvo. Esto combina el espacio y el tiempo, pero el espacio no está deformado ni curvado. Su gráfica de propiedades espaciales, hecha con, digamos, relojes de luz en una porción ecuatorial del espacio a través de la Tierra, es curva .