Partícula que cruza el horizonte de sucesos exterior de un agujero negro de Kerr

Question

Partícula que cruza el horizonte de sucesos exterior de un agujero negro de Kerr

Física
agujeros negros
kerr-métrico
horizonte de eventos
relatividad general

jac

Estoy bastante desconcertado por la siguiente declaración en 'Spacetime and geometric' de Sean Carroll (fórmula 6.100).

Una partícula con momento $p^\mu$ cruzando el horizonte de sucesos exterior de un agujero negro de Kerr $r=r_+$ "avanzar en el tiempo" satisface
${pag}^{m} x_{m} < 0.$ $p^\mu\chi_\mu \lt 0.$ $\chi = \partial_t +\frac {a}{r_+^2+a^2}\partial_{\phi}$ es el vector de muerte que es nulo en el horizonte exterior, con $a$ siendo la relación entre el momento angular de Komar y la energía de Komar del agujero negro.

Usando los componentes del tensor métrico de Kerr $g_{\mu\nu}$ y evaluando el producto interno en $r=r_+$ , Yo obtengo

{pag}^{m} x_{m} = 0

$p^\mu\chi_\mu = 0$ por cualquier valor de

p^{μ}

$p^\mu$ . ¿Alguien puede explicarme cómo probar la desigualdad y qué estoy haciendo mal?

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Partícula que cruza el horizonte de sucesos exterior de un agujero negro de Kerr

rexciro · Answer 1

Esa es una afirmación sobre la energía, tal como la ve un observador en particular.

Recuerda que la energía es una cantidad dependiente del observador. En relatividad especial definimos la energía de una partícula con 4-momentum $p^{\mu}$ medido por un observador con 4 velocidades $u^{\mu}$ como:

{mi}^{(tu)} = - η_{m v} {tu}^{m} {pag}^{v} > 0

$E^{(u)} = - \eta_{\mu \nu} u^{\mu} p^{\nu} > 0$

que en la relatividad general se generaliza a

{mi}^{(tu)} = - {gramo}_{m v} {tu}^{m} {pag}^{v} > 0

$E^{(u)} = - g_{\mu \nu} u^{\mu} p^{\nu} > 0$

Por ejemplo, para un observador estático en relatividad especial, eso es $u^{\mu} = (1,0,0,0)$ :

{mi}^{(s t a t i C)} = - {pag}_{0}

$E^{(static)} = - p_{0}$

Para que la partícula avance en el tiempo, la energía debe ser positiva. Tenga en cuenta que esta es una declaración tensorial, por lo que es cierta en todos los marcos de coordenadas.

Ahora en el espacio-tiempo de Kerr

{mi}^{(s t a t i C)} = mi

$E^{(static)} = E$

dónde $E$ es la constante de movimiento $-(\partial_t)^{\mu} u_{\mu} = -u_0 = -p_0$ (la última igualdad siempre se puede satisfacer, usando la libertad de reparametrización de la geodésica) asociado al vector Killing temporal $\partial_t = (1,0,0,0)$ , por lo tanto $E$ puede interpretarse como la energía vista por un observador estático en el infinito, y debe ser positiva. Si estamos dentro de la ergoregión, no hay observadores estáticos, ya que los agujeros negros nos están arrastrando. Un observador conveniente que está corrotando con el agujero tiene cuatro velocidades $u^{\mu} \propto (1,0,0,\Omega_H)$ , por lo tanto:

{mi}^{(r o t a t i norte gramo)} \propto (mi - Ω_{H} L)

$E^{(rotating)} \propto (E-\Omega_H L)$

donde otra vez $L$ es la constante de movimiento asociada al vector Killing rotacional $\partial_\phi = (0,0,0,1)$ . La afirmación de que la energía vista por tal observador es positiva implica la afirmación $p^{\mu}\chi_{\mu} < 0$ .

El espacio-tiempo de Kerr es peculiar ya que sigue un proceso de decaimiento de partículas $E^{(0)} = E^{(1)} + E^{(2)}$ Ciertas partículas pueden tener $E^{(2)} < 0$ , pero no hay contradicción con lo que dije antes, ya que esto sucede solo si estas partículas no pueden escapar al infinito, por lo tanto, no hay una interpretación como energía vista por un observador estático en el infinito.

Observe que todos los razonamientos anteriores se realizan antes de cruzar $r_+$ .

Entiendo que decir que avanzar en el tiempo significa que la energía medida por un observador en movimiento similar al tiempo debería ser <0. Como los observadores estáticos no tienen un cuatro vector de velocidad similar al tiempo, necesitamos encontrar otro. La elección obvia es aquella que gira alrededor del BH justo fuera del horizonte y con la velocidad angular Omega_H. En ese caso, el cuatro vector U es igual al vector asesino chi definido anteriormente. Puedo esperar que tal chi sea temporal por construcción. ¿Hay alguna manera de mostrar directamente y sin demasiados cálculos que el chi es temporal justo fuera del horizonte?
No creo que sea posible hacer esto sin conectar la métrica y calcular la norma de chi.

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jac

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jac

rexciro

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